似然函数

作者: 9933fdf22087 | 来源:发表于2019-04-08 20:54 被阅读12次

概述：统计学中，似然函数是一种关于统计模型参数的函数。当给定输出 $x$ 时，关于参数 $\theta$ 的似然函数 $L(θ|x)$ 似然值等于给定参 $\theta$ 后变量 $x$ 的发生概率 $L(\theta | x)=P(X=x | \theta)$ 。

实列：一枚正反对称值的硬币，做上抛一次正面朝上的概率为0.5，那么上抛三次都为正面的概率P为 $0.5\ast 0.5\ast 0.5=0.125$ 。但是，如果已知上抛十次硬币，且有七次为正面，三次为反面，则这枚硬币的对称值L(正面朝上的极大似然值)为0.7。如果上抛无穷次都为正面朝上的话，那么正面朝上的极大似然值就为1，表示接下来抛硬币正面朝上的概率为1。

求解：对上述例子进行求解最大似然值。上述抛十次硬币的例子转为公式 $P(A) = p^7 * (1-p)^3$ ，对该式子取对数可得 $ln(P(A)) = ln(p^7*(1-p)^3)=7ln(p)+3ln(1-p)$ 令 $ln^`(P(A)) = 0$ 可得 $\frac{7}{p} + \frac{3}{p-1} = 0$ 解得p=0.7。表示这种事件的最大概率为0.7。

公式解说：

假设样本集 $D=\left\{x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{N}\right\}$ 中的样本都是独立分布，似然函数为： $l(\theta)=p(D | \theta)=p\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{N} | \theta\right)=\prod_{i=1}^{N} p\left(x_{i} | \theta\right)$ ，求使似然函数 $l(\theta )$ 最大的 $\theta$ 。

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