第一章 2D射影几何和变换（上）

作者: hmta_dhs | 来源:发表于2024-01-28 20:43 被阅读0次

2D射影几何与变换
Homography｜单应性
单应性（Homography）
2019-06-11
OpenCV实现图像的几何变换
transform变换
几何变换
3D数学基础及图形开发(六)矩阵的线性变换-镜像和切变
CSS3动画
16.帕斯卡定理

1.1 2D射影几何

本节引入了2D射影几何的概念。相比于欧式几何，射影几何增加了无穷远点这个概念。无穷远点是两条平行线的交点（想象一下两条平行铁轨的交点），在射影几何中描述平行性质。
2D射影几何还有一个重要原理是对偶原理，由于2D射影几何中点和直线均由3维向量表示，因此它们两个是可以互换的。

点坐标 $(x,y) \in \mathbb{R}^2$ 可以写成列向量 $\mathbf{x}=(x,y)^T$

直线的齐次表示：平面上的直线方程 $ax+by+c=0$ ，因此直线可以用三维矢量 $(a,b,c)^T$ 表示。由于直线方程等号右面是0，因此将等号两边同时乘上非零数 $k$ ，即直线 $ax+by+c=0$ 和直线 $(ka)x+(kb)y+(kc)=0$ 等价。写成矢量形式就是 $(a,b,c)^T$ 和 $k(a,b,c)^T$ 是等价的。这种等价关系下的矢量等价类称为齐次矢量。

射影空间 $\mathbb{P}^2$ ：在 $\mathbb{R}^3-(0,0,0)$ 中的矢量等价类的集合。

点的齐次表示：点 $\mathbf{x}=(x,y)^T$ 在直线 $\mathbf{l}=(a,b,c)^T$ 的充要条件是 $ax+by+c=0$ ，即 $(x,y,1)(a,b,c)^T=(x,y,1)\mathbf{l}=0$ . 对于任意非零k和直线 $\mathbf{l}$ ，方程 $(ka,kb,kc)\mathbf{l}=0$ 的充要条件是 $(a,b,c)\mathbf{l}=0$ . 因此，当k不为0时，可以使用 $(kx,ky,k)^T$ 来表示 $\mathbb{R}^2$ 中的点 $(x,y)^T$ . 因此，点也可以使用齐次来表示。齐次矢量 $\mathbf{x}=(x_1, x_2, x_3)^T$ 可以表示 $\mathbb{R}^2$ 的点 $(x_1/x_3, x_2/x_3)$ .当 $x_3=0$ 时，该点为无穷远点。

点 $\mathbf{x}$ 在直线 $\mathbf{l}$ 上的充要条件是 $\mathbf{x}^T\mathbf{l}=0$

直线的交点：直线 $\mathbf{l}$ 和直线 $\mathbf{l}'$ 的交点是 $\mathbf{x}=\mathbf{l}\times\mathbf{l}'$

点的连线：过点 $\mathbf{x}$ 和点 $\mathbf{x}'$ 的直线是 $\mathbf{l}=\mathbf{x}\times\mathbf{x}'$

平行线的交点：平行直线 $\mathbf{l}=(a,b,c)^T$ 和 $\mathbf{l}'=(a,b,c')^T$ 的交点是 $\mathbf{x}=\mathbf{l}\times\mathbf{l}'=(c'-c)(b,-a,0)^T$

理想点： $\mathbf{x}=(x_1,x_2,0)^T$

无穷远线： $\mathbf{l}=(a,b,0)^T$

对偶原理：2维射影几何中的任何定力都有一个对应的对偶定理，它可以通过互换原定理中点和线的作用而导出。

1.2 二次曲线

在非齐次坐标中，二次曲线的方程是
$ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$
将上式齐次化，即 $x \rightarrow x_1/x_3, y \rightarrow x_2/x_3$ ，得
$ax_1^2+bx_1x_2+cx_2^2+dx_1x_3+ex_2x_3+fx_3^2=0$
或表示为矩阵形式
$\mathbf{x}^TC\mathbf{x}=0$
其中二次曲线系数矩阵C为
$C= \begin{bmatrix} a & b/2 & d/2 \\ b/2 & c & e/2 \\ d/2 & e/2 & f \end{bmatrix}$
上式是6元齐次方程，自由度为5

二次曲线的切线：过（非退化）二次曲线 $C$ 上点 $\mathbf{x}$ 的切线 $\mathbf{l}$ 由 $\mathbf{l}=C\mathbf{x}$ 确定。

对偶二次曲线：上面定义的二次曲线 $C$ 为点二次曲线，根据对偶原理可以定义对偶（线）二次曲线 $C^*$ 。

二次曲线 $C$ 的切线 $\mathbf{l}$ 满足 $\mathbf{l}^TC^*\mathbf{l}=0$

其中 $C^*$ 表示 $C$ 的伴随矩阵，对于非奇异矩阵 $C$ 来说， $C^*=C^{-1}$

退化二次曲线： $C$ 不满秩，包含两条线（秩为2）或者一条重线（秩为1）
$C=\mathbf{lm}^T+\mathbf{ml}^T$

退化线二次曲线 $C^*$ 包含2个点（秩为2）或者1个重点（秩为1）， $C^*=\mathbf{xy}^T+\mathbf{yx}^T$ 。注意对非可逆矩阵而言， $(C^*)^* \neq C$

1.3 2D射影变换

射影映射/射影变换/保线变换/单应(homography)变换： $\mathbb{P}^2 \rightarrow \mathbb{P}^2$ 的映射 $h$ 满足： $\mathbf{x}_1$ 、 $\mathbf{x}_2$ ， $\mathbf{x}_3$ 共线当且仅当 $h(\mathbf{x}_1)$ 、 $h(\mathbf{x}_2)$ ， $h(\mathbf{x}_3)$ 共线

映射 $h:\mathbb{P}^2 \rightarrow \mathbb{P}^2$ 是摄影映射的充要条件是：存在3*3非奇异矩阵 $H$ ，使得 $\mathbb{P}^2$ 的任何一个用矢量 $x$ 表示的点都满足 $h(\mathbf{x})=H\mathbf{x}$

点	直线	二次曲线	对偶二次曲线
$\mathbf{x}'=H\mathbf{x}$	$\mathbf{l}'=H^{-T}\mathbf{l}$	$C'＝H^{-T}CH^{-1}$	$C^{'}=HC^H^T$

变换层次

等距变换

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \epsilon \cos \theta & -\sin \theta & t_x \\ \epsilon \sin \theta & \cos \theta & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$

其中， $\epsilon=\pm 1$ . 当 $\epsilon=1$ 时，该等距变换是保向的，称为欧式变换，欧式变换表达式如下。
$\mathbf{x}'=H_s \mathbf{x} = \begin{bmatrix} sR & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix} \mathbf{x}$

相似变换

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} s \cos \theta & -s \sin \theta & t_x \\ s \sin \theta & s \cos \theta & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$

$\mathbf{x}'=H_s\mathbf{x}=\begin{bmatrix} sR & \mathbf{x} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix}$

仿射变换

$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & t_x \\ a_{21} & a_{22} & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}$

$\mathbf{x}'=H_A\mathbf{x}=\begin{bmatrix} A & \mathbf{t} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix} \mathbf{x}$

其中 $A$ 是一个 $2\times2$ 的非奇异矩阵，平面仿射变换有6个自由度
仿射矩阵 $A$ 可以看作两个基本变换（旋转和非均匀缩放的复合）：
$A=R(\theta)R(-\phi)DR(\phi)$
其中 $R(\theta)$ 和 $R(\phi)$ 分别表示转角为 $\theta$ 和 $\phi$ 的旋转，而 $D$ 是对角矩阵 $D=diag(\lambda_1, \lambda_2)$
将矩阵 $A$ 进行奇异值分解
$A=UDV^T=(UV^T)(VDV^T)=R(\theta)R(-\phi)DR(\phi)$
仿射变换的本质是在一个特定角的两个垂直方向上进行缩放

平面仿射变换改变的是夹角

射影变换

$\mathbf{x}'=H_p\mathbf{x}=\begin{bmatrix} A & \mathbf{t} \\ \mathbf{v}^T & v \end{bmatrix}\mathbf{x}$

$H=H_SH_AH_P=\begin{bmatrix} sR & \mathbf{t}/v \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} K & \mathbf{0} \\ \mathbf{0}^T & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I & \mathbf{0} \\ \mathbf{v}^T & v \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} A & \mathbf{t} \\ \mathbf{v}^T & v \end{bmatrix}$

其中， $A=sRK+\mathbf{tv}^T/v$ ，而 $K$ 是满足 $\det K=1$ 的归一化上三角矩阵，如果 $v\neq0$ ，则上述分解是有效的，而且如果 $s$ 取正值，它还是唯一的。

例射影变换

$H = \begin{bmatrix} 1.707 & 0.586 & 1.0 \\ 2.707 & 8.242 & 2.0 \\ 1.0 & 2.0 & 1.0 \end{bmatrix}$

可以分解为

$H=\begin{bmatrix} 2\cos45^{\circ} & -2\sin45^{\circ} & 1 \\ 2\sin45^{\circ} & 2\cos45^{\circ} & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0.5 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \end{bmatrix}$

层次射影变换的不变量

层次射影变换的不变量

1.4 1D射影几何

直线射影几何 $\mathbb{P}^1$ ：直线上的点x使用齐次坐标 $(x_1,x_2)$ 来表示，而 $(x_1,0)$ 表示改直线的理想点。直线的摄影变换有一个 $2\times2$ 的齐次矩阵来表示。

$\mathbf{\overline{x}}'=H_{2\times2}\mathbf{\overline{x}}$

交比：交比是 $\mathbb{P}^1$ 的基本射影不变量，给定4个点 $\overline{\mathbf{x}}_i$ ，交比定义为

$Cross(\overline{\mathbf{x}}_1,\overline{\mathbf{x}}_2,\overline{\mathbf{x}}_3,\overline{\mathbf{x}}_4)=\frac{\left| \overline{\mathbf{x}}_1\overline{\mathbf{x}}_2 \right | \left | \overline{\mathbf{x}}_3\overline{\mathbf{x}}_4 \right |}{\left| \overline{\mathbf{x}}_1\overline{\mathbf{x}}_3 \right | \left | \overline{\mathbf{x}}_2\overline{\mathbf{x}}_4 \right |}$

其中

$\left| \overline{\mathbf{x}}_i \overline{\mathbf{x}}_j\right| = \det{\begin{bmatrix} x_{i1} & x_{j1} \\ x_{i2} & x_{j2} \end{bmatrix}}$

交比的值与各点的齐次表示无关，因为分子和分母的缩放因子相互抵消。
如果每个点都是有限点且 $x_2=1$ ，则 $\left| \overline{\mathbf{x}}_i \overline{\mathbf{x}}_j \right|$ 就表示由 $\overline{\mathbf{x}}_i$ 到 $\overline{\mathbf{x}}_j$ 的有向距离。
如果四个点中有一个理想点，交比的定义仍然有效。
在直线射影变换下交比的值不变

在平面射影变换下，平面上的任何直线都诱导一个1D射影变换。(Under a projective transformation of the plane, a 1D projectiove transformation is induced on any line in the plane.)

共点线：共点线是直线上共线点的对偶。这意味着平面上的共点线也有几何 $\mathbb{P}^1$ 。特别是，任何四条共线点都有一个确定的交比，如图1.9a所示

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