【2】度量空间

作者: 备考999天 | 来源:发表于2020-06-11 20:04 被阅读0次

【2】度量空间
空间模型使用
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概率论与统计推断(一) ------ 概率论的基本概念
“空间”算什么

二维平面中看一个例子，如图2-1， $A、B$ 是平面直角坐标系中的两点，其坐标分别为 $(x_1,y_1)$ , $(x_1,y_1)$ 。

问题： $A,B$ 两点的距离是多少？也就是要我们求线段 $AB$ 的长度 $|AB|$ 。

图2-1 平面直角坐标系中的两点

上述问题的解决如下：
作 $AC||Ox,BC||Oy,AC\cap BC=C$ ，设 $A,C$ 在 $x$ 轴上的投影为 $A_x,C_x$ ， $B,C$ 在 $y$ 轴上的投影为 $B_y,C_y$ ,如图2-2：

图2-2 求A,B的距离

易知 $\Delta ACB$ 是直角三角形， $\angle ACB=Rt\angle$ .那么根据勾股定理，有：
$|AB|^2=|AC|^2+|BC|^2$ (2.1)

容易观察:
$A_x,C_x$ 的横坐标分别与 $A,B$ 的横坐标相同，为 $x_1,x_2$ ;
$C_y,B_y$ 的纵坐标分别与 $A,B$ 的纵坐标相同，为 $y_1,y_2$ 。

根据一维坐标两点的距离公式，有：
$|AC|=|A_xC_x|=|x_2-x_1|$
$|BC|=|B_yC_y|=|y_2-y_1|$
以上两式代入(2.1)式，即得：
$|AB|^2 = (x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2$

因为 $|AB|\ge 0$ ，上式开方即得：
$|AB|=\sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

以上就是平面直角坐标系两点之间的距离公式，描述为：
定理2.1 平面直角坐标系中， $A,B$ 两点的坐标为 $(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ ，那么
$|AB|=\sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ (2.2)

在几何中，有一个号称公理的命题：两点之间的连线，线段最短。实际上，这个命题可以用代数表示为三角不等式，如下：
定理2.2(三角不等式) 在平面中，任意三点 $A,B,C$ 满足如下不等式：
$|BC| \le {|AB|+|AC|}$ （2.3）
上式等号成立当且仅当 $A$ 在线段 $BC$ 上(包含端点)。

为了证明定理2.2，我们先证明如下定理：
定理2.3(三角不等式的代数形式) $\forall x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3\in \mathbb R$ ，如下不等式成立：
$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$
$\le\sqrt{(x_3-x_2)^2+(y_3-y_2)^2} +\sqrt{(x_3-x_1)^2+(y_3-y_1)^2}$ (2.4)
上式等号成立当且仅当存在 $\lambda\in \mathbb R, 0 \le \lambda \le 1$ ，使：
$x_3=\lambda x_1 + (1-\lambda)x_2$ (2.5)
$y_3=\lambda y_1 + (1-\lambda)y_2$ (2.6)

证明令 $a_1=x_3-x_1,a_2=x_3-x_2,b_1=y_3-y_1,b_2=y_3-y_2$

以上换元把原不等式变为：
$\sqrt{(a_2-a_1)^2+(b_2-b_1)^2} \le {\sqrt{a_1^2+b_1^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2}}$ (2.7)
于是问题变为证明不等式(2.7)。

因为
$2a_1a_2b_1b_2 \le a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2$ (2.8)
对于任意的 $a_i,b_i\in \mathbb R$ 成立，所以：
$2a_1a_2b_1b_2 +a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2$
$\le a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2+a_1^2b_1^2+a_2^2b_2^2$

两边分解因式得：
$(a_1a_2+b_1b_2)^2 \le {(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}$ (2.9)

开方(左边取负)，再乘以2得：
$-2(a_1a_2+b_1b_2)$
$\le {2\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}}$ (2.10)

两边同时加上 $a_1^2+b_1^2+a_2^2+b_2^2$ 得：
$-2(a_1a_2+b_1b_2)+a_1^2+b_1^2+a_2^2+b_2^2$
$\le{2\sqrt{(a_1^2+b_1^2)(a_2^2+b_2^2)}+a_1^2+b_1^2+a_2^2+b_2^2}$

套用完全平方式得：
$(a_2-a_1)^2+(b_2-b_1)^2 \le (\sqrt{a_1^2+b_2^2}+\sqrt{a_2^2+b_2^2})^2$

两边开方，取正值，得不等式(2.7)，从而证明了不等式(2.4)

以上过程中，通过(2.8)、（2.10）知道，不等式成立的充要条件为：
$a_1b_2=a_2b_1\wedge{a_1a_2+b_1b_2 \le0}$
$\Leftrightarrow a_1b_2-a_2b_2=a_2b_1+a_2b_2\wedge{a_1a_2-b_1b_2 \le 0}$
$\Leftrightarrow (a_1-a_2)b_2=a_2(b_1-b_2)\wedge{a_1a_2+b_1b_2 \le 0}$

用 $x_i,y_i$ 还原上式 $a_i,b_i$ ，得：
$(x_2-x_1)(y_3-y_2)=(x_3-x_2)(y_2-y_1)$ (2.11)
$(x_3-x_1)(x_3-x_2)+(y_3-y_1)(y_3-y_2) \le0$ (2.12)

由(2.11)知，存在 $\lambda \in \mathbb R$ ，使：
$y_3-y_2=\lambda(y_1-y_2)$
$x_3-x_2=\lambda(x_1-x_2)$
整理得：
$x_3=\lambda x_1+(1-\lambda)x_2$
$y_3=\lambda y_1+(1-\lambda)y_2$

代入式(2.12)，并分解因式得：
$(\lambda-1)\lambda [(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2]\le{0}$

因 $(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2\ge{0}$ ，所以：
$(\lambda-1)\lambda\le{0}$
解得： $0\le\lambda\le{1}$ ，这就证明了等号成立的条件(2.5)、(2.6)。
从而证明了定理2.3。 $\blacksquare$

定理2.2的证明 令 $A,B,C$ 的坐标分别为 $(x_3,y_3),(x_1,y_1),(x_2,y_2)$ ，代入两点的距离公式，并使用定理2.3，便能得到定理2.2。 $\blacksquare$

公理2.4(度量空间) $X$ 是集合，且对 $X$ 中任意两个元素 $x,y$ ，我们定义实函数 $d(x,y)\in \mathbb R$ ，如果 $(X,d)$ 满足如下三个条件：

非负性： $\forall{x,y\in X},d(x,y) \ge 0$ 且 $d(x,y)=0\leftrightarrow x=y$
对称性： $\forall{x,y\in X},d(x,y)=d(y,x)$
三角不等式： $\forall x,y,z\in X, d(x,y)\le{d(x,z)+d(z,y)}$

那么称 $(X,d)$ 为度量空间， $d$ 为度量函数， $d(x,y)$ 为两点 $x,y$ 的距离或度量。在不引起混淆的情况下，可以直接称"度量空间 $X$ "。

公理2.4的三个条件，是对距离概念的抽象定义。基于此，我们可以证明如下定理：
定理2.5 距离函数 $d:\mathbb R^2\times \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R$ 定义为： $\forall{A(x_1,y_1)}\in \mathbb R^2\forall{B(x_2,y_2)}\in \mathbb R^2$
$d(A,B)=\sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$ ，
那么 $(\mathbb R^2,d)$ 是度量空间。

证明容易验证，函数 $d$ 满足公理2.4条件1、2；同时，根据定理2.3，函数 $d$ 也满足公理2.4条件3。所以， $(\mathbb R^2,d)$ 是度量空间。 $\blacksquare$

例2.6
(1)定义函数 $d:\mathbb R^2\rightarrow\mathbb R$ 为：对于所有的 $(x,y)\in \mathbb R^2$ 有 $d(x,y)=|x-y|$ ，那么 $(\mathbb R,d)$ 是度量空间。
(2)设 $X$ 为非空集合，对于任意的 $x,y\in X$ ，有 $d(x,y)=x \begin{cases} 1 &(x\ne y) \\ 0 &(x=y) \end{cases}$
那么 $(X,d)$ 是度量空间。

证明 (1) 容易验证，函数 $d$ 满足非负性与对称性。
根据绝对值不等式，对于任意的三个实数 $x,y,z\in\mathbb R$ 有：
$|x+y|\le {|x+z|+|z+y|}$
即
$d(x,y)\le {d(x,z)+d(z,y)}$
所以， $d$ 满足度量公理的三角不等式.
综上所述，命题成立。 $\blacksquare$

(2)非负性：若 $x,y\in X$ ,那么 $d(x,y) \ge{0} \wedge d(x,y)=0\leftrightarrow x=y$ ；
对称性：根据定义， $d(x,y)=d(y,x)$ 恒成立；
三角不等式：取三个值 $x,y,z\in X$ ，讨论如下：
若 $d(x,y)=0$ ，那么 $d(x,y)\le {d(x,z)+d(y,z)}$ ；
若 $d(x,y)=1$ ，那么 $x \ne y$ ， $x,y$ 必有一个不等于 $z$ ，不妨设 $x \ne z$ ，那么 $d(x,y)=d(x,z)\le {d(x,z)+d(y,z)}$ 。
以上讨论说明三角不等式对于 $X$ 的任意的三个元素都成立。
综上所述，命题成立。 $\blacksquare$

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