【优化技巧】指数移动平均（EMA）的原理及PyTorch实现

在深度学习中，经常会使用EMA（指数移动平均）这个方法对模型的参数做平均，以求提高测试指标并增加模型鲁棒。

今天瓦砾准备介绍一下EMA以及它的Pytorch实现代码。

EMA的定义

指数移动平均（Exponential Moving Average）也叫权重移动平均（Weighted Moving Average），是一种给予近期数据更高权重的平均方法。

假设我们有n个数据：

• 普通的平均数：
• EMA：，其中，表示前条的平均值 ()， 是加权权重值 (一般设为0.9-0.999)。

Andrew Ng在Course 2 Improving Deep Neural Networks中讲到，EMA可以近似看成过去个时刻值的平均。

普通的过去时刻的平均是这样的：

类比EMA，可以发现当时，两式形式上相等。需要注意的是，两个平均并不是严格相等的，这里只是为了帮助理解。

实际上，EMA计算时，过去个时刻之前的平均会decay到 ，证明如下。

如果将这里的展开，可以得到：

其中，，代入可以得到。

EMA的偏差修正

实际使用中，如果令，步数较少的情况下，ema的计算结果会有一定偏差。

偏差

理想的平均是绿色的，因为初始值为0，所以得到的是紫色的。

因此可以加一个偏差修正（bias correction）。

显然，当t很大时，修正近似于1。

在深度学习的优化中的EMA

上面讲的是广义的ema定义和计算方法，特别的，在深度学习的优化过程中， 是t时刻的模型权重weights，是t时刻的影子权重（shadow weights）。在梯度下降的过程中，会一直维护着这个影子权重，但是这个影子权重并不会参与训练。基本的假设是，模型权重在最后的n步内，会在实际的最优点处抖动，所以我们取最后n步的平均，能使得模型更加的鲁棒。

EMA为什么有效

网上大多数介绍EMA的博客，在介绍其为何有效的时候，只做了一些直觉上的解释，缺少严谨的推理，瓦砾在这补充一下，不喜欢看公式的读者可以跳过。

令第n时刻的模型权重（weights）为，梯度为，可得：

令第n时刻EMA的影子权重为，可得：

代入上面的表达，令展开上面的公式，可得：

对比两式：


EMA对第i步的梯度下降的步长增加了权重系数，相当于做了一个learning rate decay。

PyTorch实现

瓦砾看了网上的一些实现，使用起来都不是特别方便，所以自己写了一个。

class EMA():
    def __init__(self, model, decay):
        self.model = model
        self.decay = decay
        self.shadow = {}
        self.backup = {}

    def register(self):
        for name, param in self.model.named_parameters():
            if param.requires_grad:
                self.shadow[name] = param.data.clone()

    def update(self):
        for name, param in self.model.named_parameters():
            if param.requires_grad:
                assert name in self.shadow
                new_average = (1.0 - self.decay) * param.data + self.decay * self.shadow[name]
                self.shadow[name] = new_average.clone()
    
    def apply_shadow(self):
        for name, param in self.model.named_parameters():
            if param.requires_grad:
                assert name in self.shadow
                self.backup[name] = param.data
                param.data = self.shadow[name]
    
    def restore(self):
        for name, param in self.model.named_parameters():
            if param.requires_grad:
                assert name in self.backup
                param.data = self.backup[name]
        self.backup = {}

# 初始化
ema = EMA(model, 0.999)
ema.register()

# 训练过程中，更新完参数后，同步update shadow weights
def train():
    optimizer.step()
    ema.update()

# eval前，apply shadow weights；eval之后，恢复原来模型的参数
def evaluate():
    ema.apply_shadow()
    # evaluate
    ema.restore()

References

1. 机器学习模型性能提升技巧：指数加权平均（EMA）
2. Exponential Weighted Average for Deep Neutal Networks