在直接法估计相机位姿的方法中，用李代数表示的相机运动模型起到了关键作用，因此本文接下来将详细讲解一下刚体运动模型和李代数之间的关系。
1.相机模型
相机模型可以描述一个三维空间中的点到二维像平面上的点的映射。为了简单起见，我们这里假设相机为针孔相机模型。因此，这样一个映射可以用一个投影矩阵来表示，如图1所示：
图1.相机投影矩阵
其中fx和fy表示相机的焦距除以x和y方向上单像素对应的传感器尺寸，cx和cy以像素为单位表示图像在x和y方向上的中心坐标。
我们用π来表示三维空间到二维像平面的映射，映射过程可以如图2所示表达式表示：
图2.三维空间到二维空间的映射
自然而然，π的逆就是二维到三维空间的映射，如图3所示：
图3.二维像平面到三维空间的映射
2.刚体运动模型
刚体在三维欧式空间中的运动不改变其自身的形状和大小，也就是说，刚体上任意两点之间的距离和方向在运动前后不发生变化。这种映射过程被称作特殊欧式变换（special Euclidean transformation），这种变换的集合构成了特殊欧式群（special Euclidean group SE(3)）。
刚体的运动通常可以分为两部分，即旋转（rotation）和平移（translation），总共有六个自由度，旋转包含三个自由度，平移包含三个自由度。
刚体的旋转部分有很多种表示方式，其中最长用的一种是用3x3的正交矩阵R表示旋转，所有的旋转都属于特殊取向群（special orientation group SO(3)）。平移部分通常用一个三维的向量t来表示，三个维度分别代表在x、y、z三个方向上的平移。我们通常将旋转和平移结合起来，用一个4x4的矩阵表示刚体的运动，即刚体在三维空间中的变换（transformation），如图4所示：
图4.变换矩阵
其逆变换如图5所示：
图5.逆变换
我们将矩阵的形式展开就变成了如图6所示的形式：
图6.用齐次坐标表示的点的变换
3.李代数引入刚体运动
刚体的运动也可以用李代数（Lie algebra se(3)）来表示，以方便数值优化。这样每一个处在李群（Lie group SE(3)）中的变换就用一个6x1的向量表示，如图7所示：
图7.李代数表示的刚体运动
当然，用变换矩阵的形式表示的M和用李代数形式表示的ξ可以相互转化，转化形式如图8所示：
图8.李代数与运动矩阵的等价变换
以上即为全文，欢迎小伙伴们多多指教。
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