代数结构的概念随想

抽象代数的经典结构有群，环，域
围绕于此，还有所谓子群，子环，交换群(Abel)群，对称群，商群，商环，正规子群，理想，
除环，整环，交换环，无零因子环，子域，扩域，正规扩域等等种类名目繁多的概念。

有的是包含嵌套关系，有的是派生关系，比如商群是从正规子群中构造出来。

这些概念最基本的实际上也就是群环域 正规子群，理想等等几种比较重要。

因为代数结构式从一些运算规则抽象出来的
，总体上有两种运算，大概有七八条，
从繁到简，可以逐步定义出域，环和群
从简到繁，则最先碰到群

有些结构有明显的实例背景，例如有理数集 是域的原型， 则是群的原型，当然 自然数集合比群更加复杂一些， 以一种含 n 个元素的置换，群最直接的原型。

在有理数集合上逐步删除一些特性，如去掉 去掉 0 ，对乘法形成一个交换群，这个要求去掉，留下乘法结合律和加乘分配率，就是环。环不要求乘法成群，之所以这种形态，因为确实很多实例具备这种特性，然后，施加额外的条件，加上乘法成群的条件，又是一个新结构，称为除环，增加乘法交换性，就是更大的一个集合域。

一个元素乘另一个元素，如果得到一个零元，那么把这个元素成为零因子，对于零因子，有一类环时特殊的，叫做无零因子环。
恒等元对于环的乘法而言，不是必须的，于是又把又恒等元和没有恒等元的环区别，成为有1环，1不是一个具体数字，而是抽象的乘法恒等元，当然也可以用别的符号代替。
注意环的加法恒等元肯定是存在的，这是群的定义所规定的，而环对乘法的恒等元未必存在，如果存在，通常也不是加法恒等元。
有一类环比较特殊，叫做整环，它是有1环，也是无零因子环，还是交换环。
看样子它的原型就是整数集

例如环时群上再增加一个满足结合律和分配率的运算，构成了环这样的结构。

这些体现了数学中分类的思想，为了研究某一类东西，进行逐一筛减，试图找出它最独特的特性。