高中奥数 2022-01-13

作者: 不为竞赛学奥数 | 来源:发表于2022-01-13 08:37 被阅读0次

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2022-01-13-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚周期数列 P048 例1）

设 $x_{0}$ 、 $x_{1}$ 是两个给定的正实数,数列 $\left\{x_{1}\right\}$ 满足 $x_{n+2}=\dfrac{4\max\left\{x_{n+1},4\right\}}{x_{n}}$ , $n=0,1,2,\cdots$ .求 $x_{2011}$ 的值.

解

为计算方便,令 $x_{n}=4y_{n}$ ,则

$y_{m+2}=\dfrac{\max\left\{y_{n+1},1\right\}}{y_{n}},n=0,1,2,\cdots$

直接计算可得下表:

001.PNG

所以, $\left\{y_{n}\right\}$ 是一个以5为周期的纯周期数列,对应地, $\left\{x_{n}\right\}$ 也是.故 $x_{2011}=x_{1}$ .

说明

题中所给递推关系式是一种特殊形式的Lyness方程,这里通过直接计算来确定周期的方法对付分式递推(具有周期性的)数列是直接而有效的手段.

2022-01-13-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚周期数列 P048 例2）

已知 $0\leqslant x_{0}<1$ ,数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足

$x_{n+1}=\begin{cases} 2x_{n}-1,&\text{若}\dfrac{1}{2}\leqslant x_{n}<1,\\ 2x_{n},&\text{若}0\leqslant x_{n}<\dfrac{1}{2}. \end{cases}\left(n=0,1,2,\cdots\right)$

并且 $x_{5}=x_{0}$ .问:满足条件的数列有多少个?

解

注意到,当 $x_{0}$ 确定后,数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 是唯一确定的,故问题可转为求 $x_{0}$ 的不同取值情况的个数.

利用二进制来处理,将 $x_{n}$ 用二进制表示,设 $x_{n}=\left(0.b_{1}b_{2}\cdots\right)_{2}$ ,如果 $b_{1}=1$ ,那么 $\dfrac{1}{2}\leqslant x_{n}<1$ ,此时 $x_{n+1}=2x_{n}-1=\left(0.b_{2}b_{3}\cdots\right)_{2}$ ;如果 $b_{1}=0$ ,那么 $0\leqslant x_{n}<\dfrac{1}{2}$ ,此时 $x_{n+1}=2x_{n}=\left(0.b_{2}b_{3}\cdots\right)_{2}$ .这表明:当 $x_{n}=\left(0.b_{1}b_{2}\cdots\right)_{2}$ 时,总有 $x_{n+1}=\left(0.b_{2}b_{3}\cdots\right)_{2}$ (相当于将二进制表示下 $x_{n}$ 的小数点后第一位“吃掉了”).

现在,设 $x_{0}=\left(0.a_{1}a_{2}\cdots\right)_{2}$ ,那么由上述讨论可知 $x_{5}=\left(0.a_{6}a_{7}\cdots\right)_{2}$ ,结合 $x_{5}=x_{0}$ 得 $x_{0}$ 是一个二进制下的循环小数,即 $x_{0}=\left(0.a_{1}a_{2}\cdots a_{5}\right)_{2}=\dfrac{\left(a_{1}\cdots a_{5}\right)_{2}}{2^{5}-1}$ ,其中 $\left(a_{1}\cdots a_{5}\right)_{2}$ 是二进制表示下的一个非负整数(注意 $a_{1},\cdots ,a_{5}$ 不全为1).

综上可知, $x_{0}$ 共有 $2^{5}-1=31$ 种不同的可能取值( $a_{1},\cdots ,a_{5}$ 每个数均可取0或1,但不能全部取1),相应的不同数列共31个.

说明这里利用二进制表示将递推式变为规律性更强的式子,然后结合数列的周期性掌控数列的结构.本质上而言是做了一个对应.

2022-01-13-02

（来源: 数学奥林匹克小丛书第二版高中卷数列与数学归纳法冯志刚周期数列 P049 例3）

设 $f\left(x\right)$ 是一个整系数多项式,数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 依如下方式定义

$a_{0}=0,a_{n+1}=f\left(a_{n}\right),n=0,1,2,\cdots.$

证明:若 ${a_{n}}$ 是一个纯周期数列,则其最小正周期不大于2.

证明

问题可转化为证明:若存在 $m\in \mathbb{N}^{*}$ ,使得 $a_{m}=0$ ,则 $a_{1}$ 或 $a_{2}$ 中有一个等于0.

利用因式定理,由于 $f\left(x\right)$ 为整系数多项式,可知对 $m$ 、 $n\in \mathbb{Z}\left(m\neq n\right)$ ,都有 $m-n\mid f\left(m\right)-f\left(n\right)$ .

现令 $b_{n}=a_{n+1}-a_{n},n=0,1,2,\cdots$ ,由上述结论及数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 的定义可知 $b_{n}\mid b_{n+1}$ (注意,这里若 $b_{n}=0$ ,则有 $b_{n+1}=f\left(a_{n+1}\right)-f\left(a_{n}\right)=0$ ).

因为 $a_{m}=a_{0}=0$ ,故 $a_{m+1}=f\left(a_{0}\right)=a_{1}$ ,所以 $b_{m}=b_{0}$ .

如果 $b_{0}=0$ ,那么 $a_{1}=a_{1}=\cdots=a_{m}$ ,命题已成立;否则 $\left|b_{0}\right|=\left|b_{m}\right|\neq 0$ ,结合 $b_{0}\mid b_{1}$ , $b_{1}\mid b_{2}$ , $\cdots$ , $b_{m-1}\mid b_{m}$ ,可得 $\left|b_{0}\right|=\left|b_{1}\right|=\cdots=\left|b_{m}\right|$ .

注意到

$b_{0}+b_{1}+\cdots+b_{m-1}=a_{m}-a_{0}=0.$

因此 $b_{0},b_{1},\cdots ,b_{m-1}$ 中有一半为正整数,另一半为负整数,从而,存在 $k\in \left\{1,2,\cdots ,m-2\right\}$ ,使得 $b_{k-1}=-b_{k}$ ,得 $a_{k-1}=a_{k+1}$ ,依 $\left\{a_{n}\right\}$ 的定义知,对 $n\geqslant k-1$ ,都有 $a_{n+2}=a_{n}$ .取 $n=m$ ,就有

$\begin{aligned} a_{0}&=a_{m}=a_{m+2}=f\left(a_{m+1}\right)=f\left(f\left(a_{m}\right)\right)\\ &=f\left(f\left(a_{0}\right)\right)=a_{2}. \end{aligned}$

即有 $a_{2}=0$ .

所以,命题成立.

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