利用知识搜索引擎做微积分【WolframAlpha】

快速指南

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极限	单侧	无穷
lim sin2x/(e^x-1), x->0	lim arctan(1/x) as x->0+	lim x^2 sin(3/x^2)) , x->oo
lim xsinx/(e^x-1), x->0	lim exp(1/x) as x->0-	lim arctan(x), x->-oo

一阶导数 文本	一阶导数 分式	一阶导数 一撇
derivative (2x^2+3)sin(x)	d/dx (2x^2+3)sin(x)	((2x^2+3)sin(x))'
derivative (2x^2+3)sin(x) at x=3	d/dx (2x^2+3)sin(x) at x=3	((2x^2+3)sin(x))' at x=3

二阶导数 文本	二阶导数 分式	二阶导数 两撇
second derivative of sin(2x^2+3)	2nd derivative sin(2x^2+3)	(sin(2x^2+3))''

三阶导数	十阶导数	x= 处的 阶导数
(sin(2x^2+3))'''	10th derivative 1/(1+x)	(exp(x)cos(2x^2))'' at x=1
------	d10/dx10(1/(1+x))	7th derivative of 1/(1+x) at 0

参数方程的导数	------	隐函数的导数
x=2t^2, y=sint 的导数：dy/dx	x=sin2t, y=cost 在 t=pi/6 处的导数	方程 y=1-xe^y 的导数:dy/dx
(sin(t))'/(2t^2)'	(cost)'/(sin2t)' at t=pi/6	-( d/dx( 1-xexp(y)-y ) )/( d/dy( 1-xexp(y)-y ) )

解方程求根（包括复根）	只求实根(real root)	------
solve x3+1.1*x2+0.9*x-1.4=0	real root x3+1.1*x2+0.9*x-1.4=0	------

驻点：stationary point	极小值：local min	极大值：local max
stationary point of x^3-2x+3	local min x/(x^2+2)	local max x/(x^2+2)

拐点：inflection point	指定区间内的最小值	指定区间内的极大值
inflection point of x/(x^2+2)	global min of 2sin(2x)2-(5/2)cos(x/2)2 for 1<=x<=3	local max 2sin(2x)^2-(5/2)cos(x/2), x=0 to pi

不定积分	定积分	广义积分
integrate x^2+sin(x)+1	integrate x^2+sin(x)+1 from 0 to 1	int xexp(-2x) from 0 to oo
int xarctan(x)	int 1/sqrt(1-x^2) , x= 0 ..1/2	int 1/(x^2+3) , x= -oo .. oo

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求积分变限函数

integrate texp(-t) from 0 to x
积分上限函数

d/dx ( int texp(-t) from 0 to x )
积分上限函数求导

F(x)==integrate texp(-t) from ln(x) to x^2
积分变限函数

d/dx (integrate texp(-t) from ln(x) to x^2 )
积分变限函数求导

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曲线与 x 轴之间的面积

area between 2-x^2 and x-axis
曲线y=2-x^2与x轴之间的面积

曲线下方的面积
area under 3-x^2
曲线y=3-x^2与x轴之间的面积

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求两曲线之间的面积

area between x and x^2
曲线y=x与y=x^2之间的面积

求两曲线的交点

solve x^2 = x^3

曲线y=x^2与y=x3的交点

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求两曲线之间的面积

area between sin(x) and cos(2x) from x=0 to pi

曲线y=sinx与y=cos2x
(0<x<pi) 之间的面积

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旋转体的体积

V=pi*Integrate (sin(x)^2, x=0..2)

曲线y=sinx (0<x<2) 与x轴 之间的区域绕x轴旋转

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旋转体的体积

V=pi*Integrate (x^2-sin(x)2, x=0..pi)

曲线y=x与y=sinx (0<x<pi) 之间的区域绕x轴旋转

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求曲线的弧长

int sqrt(1+ ( (x^2)' )^2), x=1..3

曲线 y=x^2 (1<x<3) 的弧长

int sqrt( (sin(t^3))' ^2+(t)'2 ), t=-1..1

参数曲线 x=sin(t^3), y=t
(-1<t<1) 的弧长

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向量的点积

(1,2,4) . (-2,3,6)

向量的叉积

(1,2,4) cross (-2,3,6)

求偏导数

d/dx sin(x^2+2y)

d/dy sin(x^2+2y)

d/dx sin(x^2+2y) at (1,2)

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高阶偏导数

d/dx d/dx x^3*y2 - 3xy^3 - x*y + 1

d/dy d/dx x^3*y2 - 3xy^3 - x*y + 1

隐函数的偏导数

-( d/dx( exp(z)-xyz ) )/( d/dz (exp(z)-xyz) )

方程e^z=xyz的偏导数：dz/dx

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向****量函数的导数

(t^2, 4t-3, 2t^2-6t)'

速度

向量函数的二阶导数

(t^2, e^t, 2t^3)''

加速度

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求梯度

grad x^2+cos(2y)

del x^{2y+cos(xy)+xyz}2

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求方向导数

derivative of x^2+cos(2y) in the direction (2,-3) at (1,2)

求二元函数的驻点

stationary point of x^3-y3+3x^2+3y^2-9*x

求二元函数的极值

local max x^3-y3+3x^2+3y^2-9*x

极大值

或 maximize x^3-y3+3x^2+3y^2-9*x

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求二元函数的最值

minimize 2(xy+2/x+2/y) for x>0, y>0

求条件极值

maximize xy on x+y=1

maximize xyz on 2(xy + yz + zx) =1, x>0,y>0,z>0

maximize sqrt(x^2+y2+z^2) on z=x^2+y2 and x+y+z=1

两个约束条件

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二重积分

int x^2y+x, y=2..4, x=1..3

矩形区域

int xy , x=1..2, y=1..x

先y, 后x

int xy , y=-1..2, x=y^2..y+2

先x, 后y

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三重积分

int x , x=0..1, y=0..(1-x)/2, z=0..1-x-2y

积分次序:：z,y,x

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级数求和

sum 3*(2/5)^n, n=1..oo

等比级数求和

sum 1/n^2, n=1..oo

p-级数求和

sum (-1)^(n+1)/n2, n=1..oo

交错级数求和

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幂级数的和函数

sum (-1)^(n+1)*x(2n-1)/(2n-1),n=1...oo

函数的泰勒公式

series xsin(x) to order 5

xsinx在x=0处的5阶泰勒公式

series e^x at x=1 to order 5

e^x在x=1处的5阶泰勒公式

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解微分方程

y’=2xy

直接输入微分方程

y’=e^(2x-y), y(0)=0

求特解

(1+x^2)y’’=2xy’, y(0)=1, y’(0)=3

二阶微分方程的特解

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高阶线性微分方程

y’’-5y’+6y=xe^(2x)

通解

y’’+y+sin(2x)=0, y(pi)=1, y’(pi)=1

特解

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一元函数图形

plot y=x^3-x2-x+1, x=-2..2

plot xsinx,arctanx

两条曲线

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隐函数的图形

plot x^3+y3=6xy

plot x^3+y3=6xy, x=-4..4, y=-4..4

指定范围

plot x^2+y2=2x, x=y^3+1

两条曲线

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参数曲线

parametric plot (t(1-sint),tcost) from t=-10 to 10

参数方程 x=t(1-sint), y=tcost 的图形

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极坐标曲线

polar plot 1+cost, t=0..2pi

极坐标方程 r=1+cost 的图形

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曲面作图

plot x^2+y2, -2<x<2, -2<y<2

plot sqrt(2-x^2-3y2)