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3.1 量子力学中的数学形式 Mathematical form

3.1 量子力学中的数学形式 Mathematical form

作者: 莎野椰 | 来源:发表于2020-06-16 15:29 被阅读0次

https://www.youtube.com/watch?v=CpOofKV5WR0&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=35

前言

量子力学的数学形式就是无限维度的向量空间的线性代数，如果你对这个不熟悉，别怕，本课将带你一步一步深入了解量子力学的背后含义，而不是简单的表达出波函数。

1. 通常的形式

  • 量子力学描述的是任何物体的状态，描述的方法为波函数\psi(x,t)，这里波函数可以很多种可能的形式，比如写成高斯函数，或者写成指数形式等等。一种写法是我们之前讨论过的，即基函数的线性叠加\sum_n a_n \psi_n (x,t)，这里的波函数就是在（有限or无限）势阱，谐振子势垒状态下求得的波函数。对于自由粒子，由于波函数的无限延伸，所以需要用积分的形式\int dk \phi(k) \frac{e^{i(kx - \frac{\hbar k^2}{2m}t)}}{\sqrt{2\pi}}。最后一种就是我们将要学习的算符表示法:\psi_n =( \hat a_+ \psi_{n-1})/\sqrt2。
    State \rightarrow \psi(x,t) = \begin{cases} ...\\ \sum_n a_n \psi_n (x,t)\\ \int dk \phi(k) \frac{e^{i(kx - \frac{\hbar k^2}{2m}t)}}{\sqrt{2\pi}}\\ \psi_n =( \hat a_+ \psi_{n-1})/\sqrt2\\ \end{cases}
  • 接下来我们就讲讲，为啥最后一种好

2. 希尔伯特空间

  • 希尔伯特空间的本质就是无限维度空间！！

  • 在希尔伯特空间的向量用| \alpha \rangle表示，它比波函数更加有用，在某些情况下，即使我们不知道波函数，通过| \alpha \rangle仍然可以得到非常有用的结论！

  • 通过内积\langle \beta | \alpha \rangle \ \ \ \ 表示\rightarrow \ \ \ \ \int \psi_{\beta}^*(x) \psi_{\alpha}(x) dx 可以把波函数用非常简单的形式表示。

  • 归一化的表示方法
    \langle \alpha | \alpha \rangle =1 \ \ \ \ 表示\rightarrow \ \ \ \ \int \psi_{\alpha}^*(x) \psi_{\alpha}(x) dx = 1

  • 正交化的表示方法
    \langle \beta | \alpha \rangle =0\ \ \ \ 表示\rightarrow \ \ \ \ \int \psi_{\beta}^*(x) \psi_{\alpha}(x) dx=0
    正交空间可以用delta函数表示：
    \{|\psi_n \rangle \} 空间 \ \ \ 表示为\rightarrow \ \ \ \ \langle \psi_n | \psi_m \rangle = \delta_{nm}

  • 完备空间
    \{|\psi_n \rangle \} \ \ \ 表示为\rightarrow \ \ \ |\psi_n \rangle = \sum_{n=1}^{\infty} a_n |\psi_n \rangle \ \ \ 傅立叶变换表示\rightarrow \ \ \ \ a_n = \langle \psi_n | \psi_m \rangle

3. 可观测量的希尔伯特表示

  • 实数Q的期望如何用希尔伯特空间形式来表示呢？
    \langle Q \rangle = \langle \psi | \hat Q \psi \rangle
    \langle Q \rangle^* = \langle \psi | \hat Q \psi \rangle^* = \langle \hat Q \psi | \psi \rangle = \langle Q \rangle (因为是实数）
    注意哈：这里\langle \psi | \hat Q \psi \rangle = \langle \hat Q \psi | \psi \rangle形式是不是有些似曾相识？
    对，这就是厄米矩阵，所以Q算符必须是厄米矩阵

  • 举例：向量\hat p是否是厄米矩阵
    \langle f | \hat p g\rangle =? \ \ \langle \hat p f | g \rangle
    可以用下式表示：
    \int f^*(x) \left( -i\hbar \frac{\partial}{\partial x} g(x) \right) dx
    求解上述积分
    = -i\hbar \left( f^*(x) g(x) |^{\infty}_{-\infty} - \int^{\infty}_{-\infty} \frac{\partial f^*}{\partial x} g dx \right)
    =\int i\hbar \frac{\partial f^*}{\partial x} g dx
    =\int (i\hbar \frac{\partial f}{\partial x})^* g dx
    = \langle \hat p f | g \rangle

  • 测的准定律
    Q的方差用希尔伯特空间形式表示：
    \sigma_Q^2 = \langle (\hat Q - \langle Q \rangle )^2 \rangle \\ = \langle \psi | ( \hat Q - \langle Q \rangle)^2 \psi \rangle\\ = \langle \psi \underbrace{( \hat Q - \langle Q \rangle)}_{减去实数还是厄米矩阵} | ( \hat Q - \langle Q \rangle) \psi \rangle \\ = \langle ( \hat Q - \langle Q \rangle) \psi | ( \hat Q - \langle Q \rangle) \psi \rangle
    假设上述方程等于0，即方差为零，首先如果\psi=0那方程就没意思了，大家全是零。那么如果\psi \neq 0
    那么只有
    ( \hat Q - \langle Q \rangle) \psi \rangle =0 \Rightarrow \hat Q |\psi \rangle = \langle Q \rangle | \psi \rangle
    注意了，这就回到了本征方程，或者经典薛定谔方程的问题了，即
    \hat H | \psi \rangle = E | \psi \rangle
    也就是说满足上述等式的算符，对应的特征值是唯一的！方差为零！不受测不准定理的限制！

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