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（1）序
有时，我会感慨：高三，是我个人知识水平的巅峰。
那时的我会很多东西呢！会背古诗文，会计算磁场中电子的速度，会配平化学方程式，会计算基因隔代遗传概率，会算各种数学排列组合问题。。。
最近，在看《数学之美》时也发出类似的感慨。书里面的用到的数学知识大多都是跟概率相关的。一看到概率，就想起了排列组合问题。高中时，对此并不是很擅长。前两天，我百度了一下高考卷子，找了一道相关的题，准备检验一下自己的水平。果然，发现自己根本不会做。
当然，我并未放弃。去找了一套视频教程，看完之后，突然觉得听懂了，也能真的捡起来现已忘记的知识，仿佛自己又回到了高中时代。
人生中很多事情，就是这样，“只是当时已惘然”。过了那个阶段后，再回首一些曾经经历过的事情，不免感慨：当初你咋就没开窍呢。
现在，我想把自己捡起来的排列组合知识写出来，看你是否能捡得起来。我会尽量写得通俗易懂，不管你以前数学如何，看完后，当你面对看起来复杂的排列组合问题，都能有信心算出答案。
你可能会问，捡起来又如何？学会了又有何用？
权当挑战吧，毕竟看此文不会花费多长时间。如果你也能有“自己当初为啥就学不明白呢？”这种体验时，我便觉得此文就算没白写。
你可能会说自己数学不好，但，一点儿没有关系。因为会查数、会加减乘除，就够了。因为排列组合问题，本质上就是计算数字的问题。下面，我们从“计算原理”开始吧。
（2）计数原理
思考两个简单的问题：
（1）你从A地出发，到达B地。共有两种交通方式，一种是坐公交车，一种是坐地铁。公交车路线有a、b、c共 3 种选择，地铁路线有d、e共 2 种选择。请问，你共有几种方式能到达目的地？
（2）你从A地出发，途径B地，到达C地。从A地到B地的路线有a、b、c共 3 种选择，从B到C地的路线有d、e共 2 种选择。请问，你共有几种方式能到达目的地？
聪明如你，确实很简单的问题。
我们先看问题（1）。从A地到B地，共两类方式，一类是 3 种方法，另一类是 2 种方法，问总共有多少种？答案自然是 2+3=5 种可能。
其实，问题（1），说明一个原理：加法原理（分类原理）。做成一件事，首先要先分类。每一类下，又有多种可能实现方式。那么所有的可能实现方式的总数，就是把各个分类下的实现方式的个数相加即可。
做一件事情，除了“分类”之外，还有“分步”。问题（2）说的就是：乘法原理（分步原理）。做成一件事，首先要分步骤，每一步，都有多种可能实现方式，要计算所有可能实现方式的总数，就是把每一步的实现方式的数目，进行相乘。
为什么是相乘呢？此时我们来仔细看看问题（2）：
从A地到B地，有 3 种可能，从B地到C地，有 2 种可能，那么
假设第一步选择a，有 2 种可能，即ad、ae。
假设第一步选择b，有 2 种可能，即bd、be。
假设第一步选择c，有 2 种可能，即cd、ce。
因此共 3 个 2 相加，即 2 + 2 + 2。等一等，我们熟知的乘法 3*2=6，不就表示 3 个 2 相加嘛。
因此我们明白了，计数，即计算有多少种可能，有两种基本情形，要么你分类，然后求和，即加法原理。要么你分步，然后求积，即乘法原理。其他无论多么复杂的情形，都是二者的复合。比如，分类的过程中，每一类里有分步的情形。也比如，分步的过程中，每一步里可能会有分类的情形。
看到这里，我们发现计数原理是，就算小学生也能掌握的知识。
（2）排列
会了计数原理后，我们来尝试解决第一个问题，排列。
4个人站成一排，问你有多少种可能排法。
一看此问题，就是分步骤的，用到的方法肯定是乘法原理。我们的思路是这样的：
我们假设有A、B、C、D共 4 个人，也有 1、2、3、4 个位置。那么原题就是让A，B、C、D分别去这 4 个位置，共有多少种可能。
我们按照位置，把这个问题，进行分步。
第一步，给位置 1 排上一个人。四人都可以，因此共有 4 种可能。比如我们选择B。
第二步，给位置 2 排上一个人，因为位置 1，已经排上了一个人。所以，位置 2 还有 3 种可能。在剩下的三人中，假设选择C。
第三步，给位置 3 排一个人。那么自然还有 2 种可能。假设选择A。
第四步，给位置 4 排上一个人。此时前三个位置上都有人了，只剩下一个人了。这里是D。因此我们别无选择，也就是选择只有一种。
上面的分步的过程中，我们得到了一种排列方式即BCAD，共有多少种这样的可能呢？根据乘法原理，有 4*3*2*1，即 4 的阶乘（4！）种可能。
4 人会排了，那么，5 人站成一排，有多少种可能呢？此时，不用多想，就会得到 5*4*3*2*1 种可能。
假如问题变了：
有 6 人，让你选出 4 个人，然后站成一排有多少种可能呢？
此时，不用慌张，因为我们还是用乘法原理。
第一步，排位置 1，有 6 种可能。
第二步，排位置 2，有 5 种可能。
第三步，排位置 3，有 4 种可能。
第四步，排位置 4，有 3 种可能。
既然是分步，所以根据乘法原理共 6*5*4*3 种可能。
那么，如果是 100 个人，选出 5 个人进行排列呢？
答案是：100*99*98*97*96。
更一般的情况是，有 n 个人，选出 m 个人进行排列。所有可能的个数是：
A(n,m)=(n-0)(n-1)...(n-m+1)
上面这个公式，共m个数相乘，从n，逐步减 1 地乘m次。A(n,m)表示可能的总个数，称为排列数。
当，从n个人中选出n个人进行排列时，即所有人都排，此时我们称为n的全排列数。“全”强调的是所有人，答案是n的阶乘。
因此，4 人全排列数是A(4,4)。6 人选 4 的排列数是A(6,4)。
为啥要用记号呢？因为记号就是概念，我们可以见名知意，不必每次都写成 100*99*98*97*96。一个A(100,5)来得多直接。
（3）组合
除了排列外，我们都知道还有一个概念，即组合。
排列说的是，6 个人选出 4 个人站成一排，有多少种可能。记做A(n,m)。
而组合说的是，6 个人选出 4 个人组成一个小组，有多少种可能。即 6 选 4 有多少种选法？记做C(n,m)。
咋听之下，感觉组合不好算，其实我们可以曲线救国。
6 个人选出 4 人排列，我们知道是A(6,4)。其实我们可以这么思考，6 个人先选出 4 个人来，然后，再让这 4 个人进行全排列。
因为是分步，所以我们会用到乘法原理。
第一步，6 人选出 4 人组成一组，总数是C(6,4)。
第二步，4 人进行全排列，总数是A(4,4)。
那么，所有可能数是C(6,4)*A(4,4)，省略乘号，记C(6,4)A(4,4)。
而此问题，正是A(6,4)。因此有：
A(6,4)=C(6,4)A(4,4)
所以有组合数：
C(6,4)=A(6,4)/A(4,4)=6*5*4*3/4*3*2*1=15
更一般的情况有：
C(n,m)=A(n,m)/A(m,m)
其实，这个很好理解。比如 100 个人选取 50 个人为一组，有多少可能呢？先算算 100 个人中选出 50 个人的排列数，我再把这个数除以 50 个人全排列数就行了。
对嘛，本来就是选 50 个人，谁让你排列了。你多进行了一步，使用了乘法原理。那么你就得给我除回来。
（4）组合数的性质
性质1：
C(n,m)=C(n,n-m)
比如：
C(6,4)=C(6,2)=6*5/2*1=15
这个很好理解，6 个人选 4 个人的选法，和选另外 2 个人的选法，可能总数是一样的。
比如你是hr，你可以从6个面试者中，挑4个人进入复试。你也可以从 6 个人里，挑出 2 个，pass掉。结果是一样的。
性质2：
C(n+1,m+1)=C(n,m)+C(n,m+1)
比如：
C(6,4)=C(5,3)+C(5,4)
当然，带入公式验证是容易的。其实我们可以构建个场景来理解。
6 人选出 4 个人，选法有多少种？C(6,4)。
我们也可以这么选：分类。假设这 6 个人中，有一个大美女。那么我就可以分成两类。
分类一：选择美女。那么她占了一个名额，那么剩下 5 个人，只能选 3 个人了。因此是C(5,3)。
分类二：不选择美女。那么她不占名额，也就是说，从剩下 5 个人里，还是选出 4 人。因此是C(5,4)。
分类是加法原理，因此有C(6,4)=C(5,3)+C(5,4)。
（5）二项式展开定理（选学）
二项式，上过中学的都了解，比如
(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2
其中a^2，表示a的平方的意思。用图形表示就是：
三次方的展开，我们也知道：
(a+b)^3 = a^3+3(a^2)b+3a(b^3)+b^3
但四次方呢？？
有时，一想到二项式展开问题，就是组合问题，虽总感觉本该如此，但又觉得不可思议。
下图把 4 次二项式，展开分成 4 个 (a+b)相乘：
因为每个位置都要出一个a或者b，不合并同类项的话，共有16种可能，即共16项。
怎么算的，分步原理：
从位置 1 里拿出一项，有a、b共 2 种可能，比如a。
从位置 2 里拿出一项，有a、b共 2 种可能，比如b。
从位置 3 里拿出一项，有a、b共 2 种可能，比如a。
从位置 4 里拿出一项，有a、b共 2 种可能，比如b。
那么就可以组成一项，abab，即(a^2)(b^2)，共 2*2*2*2 种可能。
考虑到同类项时，我们知道(a^2)(b^2)，不仅可以写出abab，还可以写成aabb等形式。
这样的同类项共多少个呢？问题就变成了从 1，2，3，4 位置里，选出 2 个位置来贡献a，不选的那 2 个位置来贡献b。或者反过来说，选出 2 个位置来贡献b，不选的那 2 个位置来贡献a。有多少种选法呢？C(4,2)，也是(a^2)(b^2)该项的系数。
同理：
(a^4)(b^0)前面的系数是C(4,0)（补充：根据组合数的性质一，C(4,0)=C(4,4)=1）。
(a^3)(b^1)前面的系数是C(4,1)。
(a^2)(b^2)前面的系数是C(4,2)。
(a^1)(b^3)前面的系数是C(4,3)。
(a^0)(b^4)前面的系数是C(4,4)。
(a+b)^4 = C(4,0)(a^4)(b^0)+C(4,1)(a^3)(b^1)+C(4,2)(a^2)(b^2)+C(4,3)(a^1)(b^3)+C(4,4)(a^0)(b^4)
即
(a+b)^4 = a^4+4(a^3)b+6(a^2)(b^2)+4a(b^3)+b^4
更一般的情况，比如n阶，也是同样的道理。展开的任意一项是：
C(n,m)(a^(n-m))(b^m)
（6）挑战一下
六人按下列要求站一横排，分别有多少种不同的站法？
（1）甲不站两端；
（2）甲、乙必须相邻；
（3）甲、乙不相邻；
（4）甲、乙之间间隔两人；
（5）甲、乙站在两端；
（6）甲不站左端，乙不站右端。
解答：
（1）“甲不站两端”，分步。
第一步，先安排甲，从中间 4 个位置选一，即C(4,1)，
第二步，其余 5 人全排列，即A(5,5)。
因此答案是：C(4,1)A(5,5)。
（2）“甲、乙必须相邻”，分步。
第一步，先把甲、乙作为一个“整体”，看作一个人，和其余4人进行全排列，即A(5,5)；
第二步，再把甲、乙进行全排列，A(2,2)。
因此答案是A(5,5)A(2,2)。
（3）“甲、乙不相邻”，分步。
第一步先让甲、乙以外的4个人全排列，即A(4,4)；
第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档（含两端）中，选 2 个空档再排，即A(5,2)。
因此答案是A(4,4)A(5,2)。
（4）“甲、乙之间间隔两人”，分步。
第一步，甲、乙先全排列，即A(2,2)；
第二步，其余四人选2人在甲、乙直接的空档排列，即A(4,2)。
第三步，把这 4 人，当成一个“整体”，再与剩下的 2 人进行全排列，即A(3,3)。
因此，答案是A(2,2)A(4,2)A(3,3)。
（5）“甲、乙站在两端”，分步。
第一步，甲、乙先站两端全排列，即A(2,2)，
第二步，剩下 4 人，在中间 4 个位置全排列，即A(4,4)。
因此答案是：A(2,2)A(4,4)。
（6）“甲不站左端，乙不站右端”，分类。
第一类，甲站在右端，条件得到满足，剩下 5 人全排列，即A(5,5)。
第二类，甲站在中间 4 个位置时，分步。
第一步，选一个位置给甲，即C(4,1)。此时还有 5 个空位。
第二步，选一个位置给乙，这 5 个空位中，包括右端，乙只能在其余 4 个位置挑一个，即C(4,1)。
第三步，其余四人随便，全排列，即A(4,4)。因此本类的答案是C(4,1)C(4,1)A(4,4)。
因此答案是：A(5,5)+C(4,1)C(4,1)A(4,4)。
安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()。
解答：
有 1 人需要完成 2 项工作，其余 2 人每人完成 1 项工作。我们可以采用分步原理来做。
第一步，我先挑 1 个人来完成两项工作。人共 3 个，所以有 C(3,1)=3 种可能。
第二步，然后再从工作中挑出 2 项工作给他。共 C(4,2)=6 种可能。
第三步，其余 2 人完成剩下的 2 份工作，因此是 2 人的全排列，A(2,2)=2 种可能。
因此乘法原理有 3*6*2=36 种可能。
男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人。选派5人外出比赛。在下列情形中各有多少种选派方法？
（1）男运动员3名，女运动员2名；
（2）至少有1名女运动员；
（3）队长中至少有1人参加；
（4）既要有队长，又要有女运动员。
解答：
（1）“男运动员3名，女运动员2名”。可以分步，先选男的，再选女的。因此有 C(6,3)C(4,2)=20*6=120 种。
（2）“至少1名女运动员”，要使用分类的话，情形比较多，可以考虑其反面“全是男运动员”，从总数中扣掉它即可。
总数是：10人选5，共C(10,5)。
全是男运动员：从6男中选5，共C(6,5)。
答案是：C(10,5)-C(6,5)。
（3）“队长中至少有1人参加”，其反面是“队长都不参加”，此时，从其余8人选5，即C(8,5)。因此答案是：C(10,5)-C(8,5)。
（4）“既要有队长，又要有女运动员”，我们先分两大类。1.女队长参加，2.女队长不参加。
女队长参加的话，那么“既要有队长，又要有女运动员”条件得到满足。其余 9 人随便选 4 个就像了。此时是C(9,4)。
女队长不参加的话，那么男队长必须参加。此时“既要有队长，又要有女运动员”的反面是“必须有队长（男队长），没有女生参加”，也就是说“其余 4 个名额，从剩下 5 个男的里出”，即C(5,4)。而总数，因为男队长选了，女队长不选，从其余 8 人里出 5 个人，即C(8,5)。因此本类的总数是：C(8,5)-C(5,4)。
根据加法原理，总数是C(9,4)+C(8,5)-C(5,4)。
上面的几道题中，答案都不只一种解法。关键的是你的思路必须要清晰。要明确分类还是分步，做到不重不漏即可。
（7）END
希望你能看到此处。
现在回头看看，排列组合确实是小学生的题，放到高中里，感觉有点儿抬举我们了。
所谓加法原理和乘法原理，也不过如此。分类，要用加法，分步，要用乘法。
排列数和组合数的计算方法，就是从这两个原理推导而来。而有了排列和组合后，我们思考过程能简便很多，原先可能需要一步步来，现在可以把它们当成自己的最小思考单元。其实我们学数学就是这样，都有背公式的经历。有了公式，往里一套，就能得到结果。从教育上来看，这是值得鼓励的，我们平常很多工作，都是站在巨人的肩膀上，很少会让你从头开始，重复造轮子。
然而，学习知识一定要搞懂知识的来龙去脉。不然，都不知道公式是怎么来的，就像你不知高楼的地基在哪里一样。就算能做到高屋建瓴，同时也会有身处空中楼阁之感。这一点，不管做哪一行，我们的前辈都告诉过我们，基础一定要扎实！
恩，就这样，本文完。
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