2020机器学习线性模型(7)

作者: zidea | 来源:发表于2020-01-26 20:17 被阅读0次

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今天是大年初一，先给大家在此拜个年，祝大家新年里身体健康，万事如意!
我们今天谈谈什么是回归问题，这里回归问题和分类问题区别。回归问题与分类问题本质上都是要建立映射关系。但是回归问题是连续的，而分类问题是离散的。连续即回归，离散即分类。

岭回归(Ridge Regression)

我们为什么需要岭回归呢?有时候我们权重 $\theta$ 取值很大，导致模型很不稳定，这个应该不难理解当权重很大时，特征稍微有点变动，反应在函数值就会很大。正则化或者也可以叫缩减，问什么叫缩减随后演示中大家就会有所体会。
$J(\theta) = \frac{1}{2N} ||\theta^T X - Y||^2 - \frac{1}{2} \alpha ||\theta||^2$

损失函数里增加了权重的平方和，参数 $\alpha$ 决定了缩减的幅度， $\alpha$ 值越大缩减幅度越大，权重的值趋近于 0。

$||\theta||^2 = \theta_1^2 + \theta_2^2 + \dots + \theta_n^2$

在开始之前我们先简单回顾一下上一次内容，我们在岭回归中是在原有损失函数添加正则项来控制参数 $\theta$ 大小，目的就是在减少 $\theta^TX$ 与 Y 距离同时，控制参数 $\theta$ 不能过大。这正则项使用的是 $\theta$ 的 L2 范数，如果使用 L1 范数就是 LASSO ，这里 LASSO 出现在 1996 年要远远晚于 1970 年的领回顾。

那么我们为什么要添加正则项，其实其作用本质就是防止过拟合，随后例子中我们会发现因为 LASSO 正则项的存在，一些高阶参数会几乎为 0，这样 LASSO 也起到了特征选择和降维的作用。

$\theta_j = \theta_{j} - \alpha(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N(h_{\theta}(x^{(i)}) - y^{(i)})x^{(i)}) + \frac{\lambda}{N} \theta_j$

我们看一看对于添加正则项(L2范数)的损失函数进行求导后得到上面式子。然后我们对这个公式进行整理
$\theta_j = (1-\frac{\alpha \lambda}{N})\theta_j - \alpha(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N(h_{\theta}(x^{(i)}) - y^{(i)})x^{(i)}))$

$\alpha(\frac{1}{N} \sum_{i=1}^N(h_{\theta}(x^{(i)}) - y^{(i)})x^{(i)}))$ 这一部分和之前对于 $\theta$ 求导没有任何变化
而我们重点是看新增 $(1-\frac{\alpha \lambda}{N})\theta_j$ 对于求导有什么影响，其中 $\alpha$ 和 $\theta$ 都是较小数，而 N 样本个数又是一个较大数这样一来 $(1-\frac{\alpha \lambda}{N})\theta_j$ 就是一个小于 1 而接近 1 的小数，说明每次迭代都会减少 $\theta$ 值，所以叫做缩减。

然后我们看用矩阵形式直接求 $\theta$ 的公式在添加了正则项的公式是
$\theta = (X^TX + \lambda I)^{-1}X^TY$

这里我们需要注意一下因为 $X^TX$ 是一个 n+1 维的方阵，所以这里 I 也是一个 n+1 而且要是对角线上第一个元素为 0 而不是 1 的 n+1 矩阵。
$I = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots &1 \\ \end{bmatrix}$

这样还有好处就是通过 I 后一些非满秩矩阵和奇异矩阵变得可以逆了，所以我们通常最小二乘法都是带有岭回归的最小二乘法。
$||\theta||_2^2$

LASSO(Least Absolute Shrinking and Selection Operator)
字面上意思通过绝对值方式减少参数值并且进行特征选择的操作。这里要说一说稀疏矩阵，有时候我们需要假设一些特征的权重为 0 方便我们通过结果来观察这个特征是否有用。

我们这里举一个房价预测问题，在房价预估问题中，面积和几室几厅是有线性关系的所以几室几厅特征是冗余的。对于高维 $\theta = [\theta_0,\theta_1,\dots,\theta_n]$ 有时候我们自己进行选择特征是一件比较难的事。其实每一个 $\theta$ 可以看做特征的权重。因为我们线性模型写出
$h_{\theta}(x) = \theta_0 + \theta_1 x_1 + \theta_2 x_2 + \dots + \theta_n x_n$
我们希望减少 $\theta$ 个数，我们可以有这样数学模型描述这个问题
$\begin{cases} \min_{\theta} ||\theta||_0 \\ s.t. \, X \theta = Y \end{cases}$
小数组合特征组合，特征少数特征组合。但是甚至不是一个连续的函数，而且不是凸函数， $||\theta||_0$ 是计数来计算特征数作为损失函数一部分控制 $\theta$ 的个数是一件难的事，我们可以用 $||\theta||_1$ 来近视

$J(\theta) = \min_{\theta} \frac{1}{2}||X\theta - Y||^2 + \lambda \sum_{i=1}^n|\theta_j|$

lasso_and_rigide.png

Ridge L2 范数

在 $w_1$ 和 $w_2$ 参数构成空间中，在图上的一圈一圈的蓝色线表示不同 $w_0$ 和 $w_1$ 的损失函数（无约束） y 值相等的等高线。浅黄色区域表示约束的形态为黄色线表示圆表示 $w_1^2 + w_2^2 = k$ 也就是正则项 L2 范数。我们要在函数上找到离 $w_1^2 + w_2^2 = k$ 函数最近的点。也就是如图上 $w^*$ 等高线和圆相切的点。