实践中,残差序列的异方差函数具有长期自相关性,这时采用ARCH模型拟合产生高阶的移动平均阶数,导致参数估计的难度加大并最终影响ARCH模型的拟合精度
理论依据
1. ARCH模型的局限
ARCH模型的实质,使用残差平方序列的q阶移动平均拟合当期异方差函数值,由于移动平均模型具有自相关系数q阶截尾性.所以ARCH模型实际上只适用于异方差函数短期自相关过程拟合
2. GARCH(p,q)模型的提出
全称为 广义自回归条件异方差模型 (generalized autoregressive conditionalheteroskedastic) ,针对残差序列具有长期相关性拟合合适的模型,结构如下:
-
提取确定性信息
-
残差序列,可能需要拟合自回归提取相关性
-
包含ARCH和GARCH项,对方差非齐进行拟合
3. AR-GARCH模型
当对原序列提取确定性信息不充分时,可能具有相关性,而不是纯随机性.这时可能先对
拟合回归模型,在考察回归残差序列
的方差齐性
拟合案例
问题描述:
- 1969年1月至1994年8月澳大利亚储备银行2年期有价证券阅读利率数据如下;
4.99 5 5.03 5.03 5.25 5.26 5.3 5.45 5.49 5.52 5.7
5.68 5.65 5.8 6.5 6.45 6.48 6.45 6.35 6.4 6.43 6.43
6.44 6.45 6.48 6.4 6.35 6.4 6.3 6.32 6.35 6.13 5.7
5.58 5.18 5.18 5.17 5.15 5.21 5.23 5.05 4.65 4.65 4.6
4.67 4.69 4.68 4.62 4.63 4.9 5.44 5.56 6.04 6.06 6.06
8.07 8.07 8.1 8.05 8.06 8.07 8.06 8.11 8.6 10.8 11
11 11 9.48 9.18 8.62 8.3 8.47 8.44 8.44 8.46 8.49
8.54 8.54 8.5 8.44 8.49 8.4 8.46 8.5 8.5 8.47 8.47
8.47 8.48 8.48 8.54 8.56 8.39 8.89 9.91 9.89 9.91 9.91
9.9 9.88 9.86 9.86 9.74 9.42 9.27 9.26 8.99 8.83 8.83
8.83 8.82 8.83 8.83 8.79 8.79 8.69 8.66 8.67 8.72 8.77
9 9.61 9.7 9.94 9.94 9.94 9.95 9.94 9.96 9.97 10.83
10.75 11.2 11.4 11.54 11.5 11.34 11.5 11.5 11.58 12.42 12.85
13.1 13.12 13.1 13.15 13.1 13.2 14.2 14.75 14.6 14.6 14.45
14.5 14.8 15.85 16.2 16.5 16.4 16.4 16.35 16.1 13.7 13.5
14 12.3 12 14.35 14.6 12.5 12.75 13.7 13.45 13.55 12.6
12 11 11.6 12.05 12.35 12.7 12.45 12.55 12.2 12.1 11.15
11.85 12.1 12.5 12.9 12.5 13.2 13.65 13.65 13.5 13.45 13.35
14.45 14.3 15.05 15.55 15.65 14.65 14.15 13.3 12.65 12.7 12.8
14.5 15.1 15.15 14.3 14.25 14.05 14.7 15.05 14.05 13.8 13.25
13 12.85 12.6 11.8 13 12.35 11.45 11.35 11.55 10.85 10.9
12.3 11.7 12.05 12.3 12.9 13.05 13.3 13.85 14.65 15.05 15.15
14.85 15.7 15.4 15.1 14.8 15.8 15.8 15 14.4 13.8 14.3
14.15 14.45 14.1 14.05 13.75 13.3 13 12.55 12.25 11.85 11.5
11.1 11.15 10.7 10.25 10.55 10.25 10.3 9.6 8.4 8.2 7.25
8.35 8.25 8.3 7.4 7.15 6.35 5.65 7.4 7.2 7.05 7.1
6.85 6.5 6.25 5.95 5.65 5.85 5.45 5.3 5.2 5.55 5.15
5.4 5.35 5.1 5.8 6.35 6.5 6.95 8.05 7.75 8.6
1.考察方差齐性;
2.选择适当的模型拟合该序列的发展;
解题步骤:
1. 建立数据集和时间
data a;
input x@@;
lagx=lag(x);
difx=dif(x);
t=intnx('month','1jan1969'd,_n_-1);
cards;
.... # 数据
;
2. 对原序列和一阶差分后序列进行时序图绘制
proc gplot data=a;
plot x*t difx*t;
symbol c=red i=join v=star;
run;
x*t
difx*t
分析 : 原序列非平稳,一阶差分序列平稳且存在异方差现象(集群效应)
3.绘制原序列和一阶差分序列相关图
proc arima data=a;
identify var=x;
identify var=x(1);
run;
原序列相关图
一阶差分序列相关图
分析 : 原序列长期相关,一阶差分序列具有平稳性,但也存在拖尾
4. 对原序列提取趋势信息,绘制残差序列五阶自相关图,并对残差序列进行dw检验,确定相关性信息
提取方式
- 自变量t的幂函数提取趋势信息
proc autoreg data=a;
model x=t/ nlag=5 dwprob ;
run;
参数检测
- 滞后变量的方式提取
proc autoreg data=a;
model x=lagx/ lagdep=lagx nlag=5 dwprob; # 均值不显著,可添加 noint
run;
参数检测
五阶相关图
t提取
lagx提取
残差自相关仍具有相关和拖尾特征,残差序列仍有相关性
dw检验
t提取
lagx提取
两者提取后的残差序列仍具有相关性
5. 对第一次残差拟合一次AR(2)模型,并对第二次残差进行archtest检验
第一次残差拟合
model x=t/ nlag=5 noint backstep method=ml archtest;
run;
AR(2)参数通过检验
archtest检测
Q.LM检测
对
6. 最终模型拟合AR(2)-GARCH(1,1)
proc autoreg data=a;
model x=t/ nlag=2 noint garch=(p=1,q=1);
output out=out p=p lcl=lcl ucl=ucl cev=cev residual=residual; # 数据输出
run;
参数检验
7. 绘制
data out;
set out;
lcl_residul=-1.96*sqrt(0.27415);
Ucl_residul=1.96*sqrt(0.27415);
Lcl_GARCH=-1.96*sqrt(cev);
Ucl_GARCH=1.96*sqrt(cev);
Lcl_P=P-1.96*sqrt(cev);
Ucl_P=P+1.96*sqrt(cev);
proc gplot data=out;
plot x*t=5 lcl*t=3 ucl*t=3 Lcl_P*t=4 Ucl_P*t=4/overlay;
plot residual*t=2 lcl_residul*t=3 Ucl_residul*t=3 Lcl_GARCH*t=4 Ucl_GARCH*t=4/overlay;
symbol2 c=green i=needle v=none;
symbol3 c=black i=join v=none w=2 l=2;
symbol4 c=red i=join v=none;
symbol5 c=green i=join v=none;
run;
拟合图
残差波动拟合
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