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作者: wangchi | 来源:发表于2019-06-29 20:09 被阅读0次

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background

对于复杂函数 $f(x)$ 的MC积分，可以使用重要性采样。如果采样函数的形状和被积函数类似，可以加快收敛速度。

采样函数pa和pb联合之后，可以和被积函数更相似

如上图采样函数 $p_a$ 和 $p_b$ ，单独使用的时候，可能造成极大的variance，例如 $f(x_a)/p_a(x_a)$ 会是一个很大的数值。

如上图采样函数 $p_a$ 和 $p_b$ 联合之后，可以和被积函数更相似，因此联合两种采样方法，可以减少方差加快收敛速度, 即 $\frac{f(x_a)}{[p_a(x_a)+p_b(x_a)]*0.5}$ 不会爆表。

方法可以为：从 $p_a$ 或者 $p_b$ 中随机选一个作为采样方法，再从中采样若干个样本。这基本相当于从两个分布的加权平均中进行采样。

method

原始MC estimator为：

$F=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\frac{f(x_{i})}{p_i(x_{i})}$

假定有 $n$ 中采样方法 $p_1(x), p_2(x), ..., p_n(x)$ （路径生成方法），且从第 $i$ 个方法中，生成 $n_i$ 个样本 $x_{i,1},x_{i,2} ... x_{i,n_j}$ 。

那么MIS estimator为：

$F=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{n_i}\sum_{j=1}^{n_i}w_i(x_{i,j})\frac{f(x_{i,j})}{p_i(x_{i,j})}$

其中 $\sum_{i=1}^{n}w_i(x)=1$ , 表明，同一个样本 $x$ 被不同的 $n$ 中采样技术估计后，权重之和为1
$w_i(x) = \frac{n_ip_i(x)}{\sum_k n_k p_k(x)}$ , $w_i(x)$ 表示样本 $x$ 被 $n$ 种不同采样方法估量之后，使用当前采样方法 $p_i(x)$ 占所有情况的的一个比例。

对于每一种采样技术得到的样本，加权求和（ $\frac{1}{n_i}\sum_{j=1}^{n_i}w(x_{i,j})\frac{f(x_{i,j})}{p_i(x_{i,j})}$ ）：

这一项，实际上相当于只有一个采样技术时候的MC积分，只不过，对于每一项乘以了权重。
再进一步理解：相当于，（只有一个采样技术时候），对于每一个样本，这个样本被不同的采样方法综合考量（weighted）以后的结果

最后，因为在权重 $w_i(x)$ 中已经考虑了 $n$ 中采样技术的平均了，对于每一种采样技术，直接求和( $\sum_{i=1}^{n}$ )，

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