剑指 offer 学习之变态跳台阶

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

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解题思路

动态规划

import java.util.*;
public class Main {
    
    public static void main(String[] args) {
        System.out.println(jumpFloorII(3));
        System.out.println(jumpFloorII(10));
    }
    
    public static int jumpFloorII(int target) {
        int[] dp = new int[target];
        Arrays.fill(dp, 1);
        for (int i = 1; i < target; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                dp[i] += dp[j];
            }
        }
           
        return dp[target - 1];
    }
}

数学推导
跳上 n-1 级台阶，可以从 n-2 级跳 1 级上去，也可以从 n-3 级跳 2 级上去...，那么

f(n-1) = f(n-2) + f(n-3) + ... + f(0)

同样，跳上 n 级台阶，可以从 n-1 级跳 1 级上去，也可以从 n-2 级跳 2 级上去... ，那么

f(n) = f(n-1) + f(n-2) + ... + f(0)

综上可得

f(n) - f(n-1) = f(n-1)

即

f(n) = 2*f(n-1)

所以 f(n) 是一个等比数列

public int jumpFloorII(int target) {
    return (int) Math.pow(2, target - 1);
}

测试结果

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