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空间向量在立体几何中的应用(一)

空间向量在立体几何中的应用(一)

作者: 天马无空 | 来源:发表于2021-03-22 09:23 被阅读0次

向量在立体几何中占有重要的地位,且扮演着一个非常重要的角色,其应用打破了立体几何的传统解法,可以减少大量的辅助作图以及对图形的分析、想象过程,能直接使用代数运算来解决立体几何中的计算和证明问题.在近几年的高考中几乎每年都有出现,其题型主要是大题形式出现,有时也会在选择题或填空题中应用.

类型一 空间向量法解立体几何中证明垂直问题

空间向量法解立体几何中证明垂直问题

使用情景:立体几何中证明垂直问题
解题步骤:

第一步 首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标;
第二步 然后将已知条件转化为空间向量问题并对其进行求解;[来源:学+科+网]
第三步 得出结论.
【例1】、直三棱柱ABC—A_1B_1C_1中,底面△ABC中,CA=CB=1∠BCA=90°,棱AA_1=2MN分别为A_1B_1A_1A的中点.

求证:A_1B⊥C_1M.

证明:以C为原点,\overrightarrow{CA}\overrightarrow{CB}\overrightarrow{CC_1}分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立空间直角坐标系

依题意有C_1(0,0,2)M(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},2)\overrightarrow{A_1B}=(-1,1,-2)\overrightarrow{C_1M}=(\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{2},0)

\therefore \overrightarrow{A_1B} \cdot\overrightarrow{C_1M}=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+0=0

\therefore \overrightarrow{A_1B} \perp\overrightarrow{C_1M}

\therefore A_1B⊥C_1M

【例2】、如图所示,PD⊥平面ABCD,且四边形ABCD为正方形,AB=2,EPB的中点,\cos<\overrightarrow{DP},\overrightarrow{AE}>=\dfrac{\sqrt{3}}{3}.

(1)建立适当的空间坐标系,写出点E的坐标;

(2)在平面PAD内求一点F,使EF⊥平面PCB.

【答案】
(1) 点E的坐标是(1,1,1)
(2) FAD的中点时满足EF⊥平面PCB
【解析】

(1)如图所示,

DADCDP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,

A(2,0,0)B(2,2,0)C(0,2,0),设P(0,0,2m),则E(1,1,m)

\therefore \overrightarrow{AE}=(-1,1,m)\overrightarrow{DP}=(0,0,2m),,

\therefore \cos<\overrightarrow{DP},\overrightarrow{AE}>=\dfrac{2m^2}{\sqrt{1+1+m^2}\cdot 2m}=\dfrac{\sqrt{3}}{3}

解得m=1

所以点E的坐标是(1,1,1).

(2)\because F \in平面PAD,\therefore可设F(x,0,z)

\overrightarrow{EF}=(x-1,-1,z-1),又\overrightarrow{CB}=(2,2,0)\overrightarrow{PC}=(0,2,-2)

\because EF⊥平面PCB\therefore \overrightarrow{EF} \perp \overrightarrow{CB}\overrightarrow{EF} \perp \overrightarrow{PC}

\begin{cases}\vec{EF}\cdot \overrightarrow{CB}=0 \\ \vec{EF} \cdot \overrightarrow{PC}=0\end{cases}\therefore\begin{cases}(x-1,-1,z-1)\cdot(2,0,0)=0 \\ (x-1,-1,z-1)\cdot(0,2,-2)=0\end{cases}

\therefore\begin{cases}x=1 \\ z=0\end{cases}

\therefore F点的坐标为(1,0,0),即点FAD的中点时满足EF⊥平面PCB

类型二 空间向量法解立体几何中证明平行问题

空间向量法解立体几何中证明平行问题

使用情景:立体几何中证明平行问题
解题步骤:

第一步 首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并标出相应点的空间坐标;
第二步 然后将已知条件转化为空间向量问题并对其进行求解;
第三步 得出结论.

【例】如图, 已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直线AB,且AB=BP=2AD=AE=1AE\perp AB,且AE \parallel BP. 设点M为棱PD中点,求证:EM \parallel平面ABCD;(同探索问题例题)

【证明】:

由已知,平面ABCD \perp平面ABEP,且BC \perp AB,则BC \perp平面ABEP

所以BABPBC两两垂直

故以B为原点,\overrightarrow{BA}\overrightarrow{BP}\overrightarrow{BC}分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,

P(0,2,0)D(2,0,1)M(1,1,\dfrac{1}{2})E(2,1,0)C(0,0,1)

所以\overrightarrow{EM}=(-1,0,\dfrac{1}{2})

易知平面ABCD的一个法向量等于\vec{n}=(0,1,0)

\therefore \overrightarrow{EM} \cdot \vec{n}=(-1,0,\dfrac{1}{2}) \cdot (0,1,0)=0

所以\overrightarrow{EM} \perp \vec{n}

EM \not \subset平面ABCD

所以EM \parallel平面ABCD

【总结】

利用空间直角坐标系求解空间角的关键是建立空直角坐标系,而建立空间直角坐标系主要途径:

(1)一般来说,如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时,就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系;

(2)如果不存在这样的三条直线,则应尽可能找两条垂直相交的直线,以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系,即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点;

(3)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系,在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系.

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