2.10 自由粒子与薛定谔方程 The free particl

https://www.youtube.com/watch?v=7KywkixHTvg&list=PL65jGfVh1ilueHVVsuCxNXoxrLI3OZAPI&index=23&t=0s

前言

这节课讨论薛定谔方程如何作用在自由粒子上。
自由粒子：悬浮在三维空间中，没有固定运动方向，没有势能

1. 自由粒子薛定谔方程（TISE)

• 

  • 因为是自由粒子，所以

  • 薛定谔方程变为
    

  

  where 这里的K和2.9节的K不一样，这里的K是个常数。

• 得到薛定谔方程之后，如何求解呢？这里就顺便复习一下“二阶常系数齐次线性微分方程”的求解步骤：
  
  

  image.png

二阶常齐次微分方程解法

• 由此得到薛定谔方程的通解为：
  

• 将时间相关部分乘上去，得到时间相关的波函数：

  

  将 带入上式，替换E

  

• 接下来进入画图环节，如何画出这个波函数的图像呢？

  • 如Lecture 2.1中的图像所示，时间薛定谔方程Time dependent SE的图像表现为，一个绕着复数坐标旋转的圆，随着t的增加以及欧拉公式变换得到的：
    

    image.png

  • 那么在此基础上如果加入x维度，就会变成下面的图像：

    
    image.png

  • 那么波的传播方向是向哪的？
    这由参数决定，那么一定存在一点（黄色点）使得
    即,可见，在该点如果t增加的话，x也增加。所以随着时间的增加，波函数向着+x方向移动！

  • 课外思考（无答案）

    
    image.png

• 求解波函数，照例需要知道边界条件边界条件？但是对于自由粒子而言

  • 因为V(x)=0，粒子可以向任意方向移动
  • 因此没有边界
  • 因为能量E任意，所以可以得到任何常数k
  • 此时波函数是连续不断，所以也就没有能量的量子化（能量是连续的）

• 那归一化条件满不满足呢？Normalization 正则化

  • 如下图所示把波函数的平方积分，结果得到的是一个无穷大的数，所以无法归一化。

    
    image.png