MIT 线性代数 7.求解AX=0 主变量自由变量零空间特

作者: 光能蜗牛 | 来源:发表于2022-05-25 10:55 被阅读0次

求解AX=0

假设 $AX=\begin{bmatrix}1&2&2&2\\2&4&6&8\\3&6&8&10\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x1\\x2\\x3\\x4\end{bmatrix}=0$

对A进行阶梯形化简得上三角矩阵

$UX=\begin{bmatrix}1&2&2&2\\0&0&2&4\\0&0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x1\\x2\\x3\\x4\end{bmatrix}=0$

再进一步对U进行化简得到简化型上三角矩阵

$RX=\begin{bmatrix}1&2&0&-2\\0&0&1&2\\0&0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x1\\x2\\x3\\x4\end{bmatrix}=0$

观察左边这个R矩阵，其中含有两个主元列

列一 $\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}$ 和列三 $\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}$

然后列二 $\begin{bmatrix}2\\0\\0\end{bmatrix}$ 和列四 $\begin{bmatrix}-2\\2\\0\end{bmatrix}$ 可以由列一和列三进行线性组合得到，也就是说，由列一和列三可以直接表达整个矩阵A的列空间，多出的两列对于列空间而言是不需要的
（这两个自由列的作用其实就是为了得到零空间的特解）可能有点绕，看不懂的话我们先对上面的乘法做一下调整,把两个主元列放到一起

$RX=\begin{bmatrix}1&2&0&-2\\0&0&1&2\\0&0&0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x1\\x2\\x3\\x4\end{bmatrix}=0$
$R^{'}X^{'}=\left[\begin{array}{cc:cc} 1 &0 & 2 & -2\\ 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right] \begin{bmatrix} x1\\x3\\x2\\x4 \end{bmatrix}= \left[\begin{array}{c:c} I &F \\ \hdashline 0 & 0 \end{array}\right] \left[\begin{array}{c:c} x1\\x3\\ x2\\x4 \end{array}\right]=0$
根据分块矩阵的乘法规则，要求矩阵的零空间
$\left[\begin{array}{c:c} I \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c:c} x1\\x3\\ \end{array}\right]+\left[\begin{array}{c:c} F \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c:c} x2\\x4\\ \end{array}\right]=0$

一个合理的解是让 $\left[\begin{array}{c:c} x1\\x3\\ \end{array}\right]=-F$ 且 $\left[\begin{array}{c:c} x2\\x4\\ \end{array}\right]=I$

因此我们让 $\left[\begin{array}{c:c} x2\\x4\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c:c} 1\\0\\ \end{array}\right]或\left[\begin{array}{c:c} 0\\1 \end{array}\right]$

于是 $\left[\begin{array}{c:c} x1\\x3\\ \end{array}\right]=\left[\begin{array}{c:c} -2\\0\\ \end{array}\right]或\left[\begin{array}{c:c} 2\\-2 \end{array}\right]$

整理一下得到矩阵零空间解为

$\left[\begin{array}{c:c} -2\\1\\0\\0 \end{array}\right]$ 和 $\left[\begin{array}{c:c} 2\\0\\-2\\1 \end{array}\right]$ 这两个特解的线性组合

写到一起就是

$X=c\left[\begin{array}{c:c} -2\\1\\0\\0 \end{array}\right]$ + $d\left[\begin{array}{c:c} 2\\0\\-2\\1 \end{array}\right]$

这里多说一句，这个零空间其实是一个过原点平面

MIT 线性代数 7.求解AX=0 主变量自由变量零空间特

求解AX=0

相关文章

网友评论

延伸阅读

深度阅读

栏目导航

热点阅读

MIT 线性代数 7.求解AX=0 主变量 自由变量 零空间 特

求解AX=0

相关文章

网友评论

延伸阅读

深度阅读

栏目导航

热点阅读

MIT 线性代数 7.求解AX=0 主变量自由变量零空间特