MIT-18.06-线性代数（第七讲）

作者: 林枫bioinfo | 来源:发表于2022-03-26 19:10 被阅读0次

第七讲 —— $Ax=0$ ：主变量、特解

1. 计算零空间、主变量、自由变量、特解

有矩阵 $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 2 & 4 & 6 & 8 \\ 3 & 6 & 8 & 10 \\ \end{bmatrix}$ ，对这个矩阵消元，消元过程中，零空间不会改变。
消元后，最终得到了阶梯形式（echelon form），即非零元素以一种阶梯形式出现。本例中，主元只有两个，主元的数量是2，该数字称为矩阵的秩（rank）。

此时解 $Ax=0$ 变成了解 $Ux=0$ ，但解的值和零空间不变。下面进行回代，首先找出主变量（pivot variables），主列（pivot columns），也就是主元所在的列，这里存在第一列和第三列两个pivot columns，另外两列为自由列（free columns），这些自由列表示，可以自由或任意分配数值给这些未知数，即列二和列四的乘数是任意的，因此 $x_2$ 和 $x_4$ 可以任取，然后只需求解 $x_1$ 和 $x_3$ 即可。

写成方程组的形式， $\left\{ \begin{array}{c} x_1+2x_2+2x_3+2x_4=0 \\ 2x_3+4x_4=0 \\ \end{array} \right.$ ，求 $x_1$ 和 $x_3$ 可以通过回代，新的知识点：自由变量（free variables），自由变量可以取任何值，这里任意选择 $x_2=1$ 和 $x_4=0$ ，回代得到 $x_1=-2，x_3=0$ ，这样就得到零空间的一个向量 $\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}$ ，也就是 $Ax=0$ 的一个解。该向量的任意倍数是方程组的解。得到四维空间中一条无限延伸的直线，直线在零空间中，但它是整个零空间吗？不是。自由变量有两个，可以任意取值。若 $x_2=0,x_4=1$ ，回代得 $x_1=2,x_3=-2$ ，可得到另一个零空间的向量 $\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ 。

以上两个向量称为特解（special solutions），特解也就是特定的解，特定在于给自由变量分配的特定值，从而得到零空间内特定的解。通过特解能构造出整个零空间。零空间所包含的正好是特解的线性组合。本例中则为 $x=c\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{bmatrix}+d\begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ -2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ 那么有多少个特解？每个自由变量对应一个特解，那么有多少自由变量呢？对于 $m×n$ 矩阵， $n$ 个变量，若其秩为 $r$ ，自由变量个数则为 $n-r$ 。 $r$ 个主变量，表示只有 $r$ 个方程起作用，剩下的 $n-r$ 个变量都可以自由选取，令其为0、1这样的特定值，就能得到特解。

2. 简化行阶梯形式

矩阵 $R$ ，称为简化行阶梯形式（reduced row echelon form），这意味着 $U$ 能进一步简化。

$U=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ ，行三均为0，是因为其是行一和行二的线性组合，消元发现了这一点，将其剔除。此时可以向上消元， $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ ——> $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ ——> $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}=R$ 。（在Matlab中，rref(A)可直接得到R）。它以最简形式包含了所有信息。主行主列交汇处存在单位阵 $\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$ 。

写成方程组的形式， $\left\{ \begin{array}{c} x_1+2x_2-2x_4=0 \\ x_3+2x_4=0 \\ \end{array} \right.$ ，即 $Rx=0$ ，现在处理自由变量并回代，分别考虑主列和自由列，

这个步骤其实相当于回代，结果是自由列中数字的相反数。

假设方程组已经是rref形式，有 $R=\begin{bmatrix} I & F \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ ，这是典型的简化行阶梯形式。求解 $Rx=0$ 。构建零空间矩阵，它的各列由特解组成，记作 $N$ ，有 $RN=0$ ，得 $N=\begin{bmatrix} -F \\ I \\ \end{bmatrix}$ ，Matlab可以通过指令null求出。 $Rx=0=\begin{bmatrix} I & F \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{pivot} \\ x_{free} \\ \end{bmatrix}$ ， $x_{pivot}=-Fx_{free}$ 。

再一个例子，有 $A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 2 & 6 & 8 \\ 2 & 8 & 10 \\ \end{bmatrix}$ ，开始消元， $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 2 & 6 & 8 \\ 2 & 8 & 10 \\ \end{bmatrix}$ ——> $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 4 & 4 \\ \end{bmatrix}$ ——> $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 4 \\ \end{bmatrix}$ ——> $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ 。秩仍然为2，矩阵主列的个数与其转置相同。只有一个自由列。令自由变量为1，回代，得到 $x=\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ 。零空间内还有什么向量呢？乘以 $c$ 即可，整个零空间是一条直线，记为 $c\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ 。向上消元得到 $R=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} I & F \\ 0 & 0 \\ \end{bmatrix}$ ，进而有 $x=c\begin{bmatrix} -F \\ I \\ \end{bmatrix},-F=\begin{bmatrix} -1 \\ -1 \\ \end{bmatrix},I=1$ 。