一道积分题

作者: cybern | 来源:发表于2021-07-25 10:35 被阅读0次

积分题
一道积分题
2019.05.13
我是有多不好，才需要被挑三拣四
家长日志20160912
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课间十五分钟
积分题5
积分题4
积分题3

这道题还有别的解法，比如这张图（来自微信群

方法一：柯西主值[^1]

$\begin{align} \int_{0}^{+\infty} x d \frac{1}{1+e^{-x}}& = \left.\frac{x}{1+e^{-x}}\right|_{0} ^{+\infty}-\int_{0}^{+\infty} \frac{e^{x}}{1+e^{x}} \mathrm{d} x \cr & = \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x}{1+e^{-x}}-\ln \left(1+e^{x}\right)\right)+\ln 2 \cr & =\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{x\left(e^{x}+1\right)-x}{e^{x}+1}-\ln \left(1+e^{x}\right)\right)+\ln 2 \cr & = \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\ln e^{x}-\ln \left(1+e^{x}\right)-\frac{x}{e^{x}+1}\right)+\ln 2 \cr & =\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\ln \frac{e^{x}}{1+e^{x}}-\frac{x}{e^{x}+1}\right)+\ln 2=\ln 2 \end{align}$

方法三：无穷级数

因为

$\begin{aligned} \ln (1+x) & =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} x^{n};\quad (-1<x \leqslant 1 ) \cr \Gamma (n) & =(n-1)! \end{aligned}$

$\begin{align} \int_{0}^{+\infty} \frac{x e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{2}} \mathrm{d} x &=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \int_{0}^{+\infty}x \cdot n e^{-n x} \mathrm{d}x;\quad|e^{-x}|<1, x \in(0,+\infty) \cr & = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1} \cdot \frac{1}{n} \cdot \Gamma(2) \cr & =\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} \cr & =\ln 2. \end{align}$

[^1]: [柯西主值](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%9F%AF%E8%A5%BF%E4%B8%BB%E5%80%BC)

积分题
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