积分题

作者: Raow1 | 来源:发表于2020-12-13 00:26 被阅读0次

积分题
积分题5
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积分题14

求积分： $\int \frac{\cos^2 x + 3}{\sin^2 x + 3\tan x} \mathrm d x$

计算量很有点大的一道积分题。

$\begin{align*} \int \frac{\cos^2 x + 3}{\sin^2 x + 3\tan x} \mathrm d x &= \int \frac{\frac{1}{2}(\cos{2x}+1)+3}{\frac{1}{2}(1-\cos{2x})+3\tan x} \mathrm dx \\ &= \int \frac{\cos{2x}+7}{1-\cos{2x}+6\tan x} \mathrm dx\\ &= \int \frac{\frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x}+7}{ 1- \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x} +6\tan x} \mathrm dx \\ &= \int \frac{3\tan^2 x +4}{3\tan^3 x +\tan^2 x+3\tan x} \mathrm d x \\ &\xlongequal{\tan x = t} \int \frac{3t^2 +4}{3t^3+t^2+3t} \cdot \frac{1}{1 + t^2} \mathrm d t \\ &= \int (\frac{3t+4}{3t^3+t^2+3t} - \frac{1}{1+t^2}) \mathrm d t \\ &= \int ( \frac{-4t+\frac{5}{3}}{3t^2+t+3} + \frac{4}{3t} - \frac{1}{1+t^2}) \mathrm d t \\ &= \int (-\frac{2}{3} \cdot \frac{6t+1}{3t^2 + t + 3} + \frac{7}{3} \cdot \frac{1}{3t^2 + t + 3} + \frac{4}{3t} - \frac{1}{1+t^2} ) \mathrm d t \\ &= -\frac{2}{3} \ln{(3t^2+t+3)} + \frac{14}{3\sqrt{35}}\arctan{\frac{6t+1}{\sqrt{35}}} + \frac{4}{3} \ln{t} - \arctan t + C \\ &= -\frac{2}{3} \ln{(3\tan^2 x + \tan x+3)} + \frac{14}{3\sqrt{35}}\arctan{\frac{6\tan x+1}{\sqrt{35}}} + \frac{4}{3} \ln{\tan x} - x + C \end{align*}$

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求积分：计算量很有点大的一道积分题。
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求积分：
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求积分：
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求积分：
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求积分：如果是形如也可以用一样的方法，然后用点火公式计算。
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求积分：所以，所以，
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2018-2-6. 对于区域。计算。由高斯公式知：
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