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最近在万维钢的《你有你的计划，世界另有计划》中，看到了一道看起来简单的数学题。
当然，这个数学题其实并不来自万维钢本人，而是来自另外一位数学家——约翰•保罗士。
这位数学家在股市亏得一塌糊涂，所以写了一本书来警示世人，这本书叫做《一名数学家玩转股票市场》，里面有一道看起来简单的数学题。
接下来，让我们来看看这道题。
假设在一个有很多只股票的市场里，每一周每只股票的股价要么上涨80%，要么下跌60%，可能性各占一半。
那么，如果你手里有1万元，每周一全额买一只股票，周五全部清仓，你的收益如何呢？
感兴趣的小伙伴可以算一下哦。
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估计有些小伙伴可能是这样算的（C）：如果有一半的可能性上涨80%，一半的可能性下跌60%，平均下来是赚10%。如果每周都能赚10%的话，那么一年（52周）下来，经过复利的奇迹，就是1.1的52次方。也就是，如果投资1万元，年底会有142万元。
一种算法，by 巴西哥
很心动的感觉，有木有？
还有小伙伴可能是这样算的（B）：假设第一周上涨0.8，第二周下跌0.6，那么投入1万元，1年以后会变成6.2万元，也是很不错的数字嘛。
另一种算法，by 巴西哥
那么，你是B还是C呢？
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万教授的书里告诉大家，第一个算法是有问题的，142万元是整个市场的平均回报，但不是投资人可以拿到的回报。
巴西哥也告诉大家，第二个算法是错的，因为上涨和下跌不是按照简单的加法计算，而是应该按照乘法计算。第一年上涨80%，第二年下跌60%，不是净赚20%，而是亏损28%！
如果按照这道题目的投资方法，投资人最有可能的结果，是按照这个策略投资1万元，一年之后还剩下1.95元。
从142万元到1.95元，差距也太大了吧！
仔细算算就知道咋回事了。
你最可能的结果（A），是一半时间你的资金增长80%，一半时间亏损60%，那么你的资金要乘以1.8的26次方，再乘以0.4的26次方。也就是每两周亏损28%，一年后只剩下1.95元。
下图假设第一次赚80%，第二次亏60%，就得到了这样的结果。
真正的算法，by 巴西哥
也就是，你以为你是B或者C，实际上只是A。
是不是理想很丰满，现实很骨感？
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进一步，万教授举了一个两周的例子，按照上面的策略存在4种可能，收益分别是1.8*1.8,1.8*0.4,0.4*1.8和0.4*0.4，也就是32400元，7200元，7200元和1600元。
他们的平均值，是12100元，正好是1万元乘以1.1的平方，而1.1正好是1.8和0.4的算术平均值。
但是最有可能的结果，是7200元，正好是是1万元乘以0.72，而0.72是1.8和0.4的几何平均值的平方。
数学上有一个定理，N个正数的几何平均数小于算术平均数。
因此，万教授宣布，虽然这只是个极端的例子，但个人收益是很可能跑不赢市场平均收益的。
真是细思恐极啊！
约翰•保罗士的领悟，真是够痛够深刻！
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万教授进一步指出，前面的平均收益142万那么高，而个人只能亏到只剩1.95元，原因在于我们都“被平均”了。
如果有人运气特别好，每次都赶上了上涨80%，52周后收益将是18,800,000,000,000万元。
而即使运气特别差，每次都下跌60%，那么52周之后也就是接近0，不会成为负数。
也就是，上不封顶，下有封底。
最后平均的结果，就是142万。
不过，对于我们普通人，有个平均结果就挺好了不是？
仔细想来，这个数学家的假设还是蛮有实际依据的。因为长期来看，美股的年化收益率就是接近10%，而如果把这里的52周换成52年，买入指数基金52年后的理论收益可以达到142万，翻了142倍。
而在股票市场中，总是有某些股票涨幅远超大盘，正是它们拉高了市场平均值。
苹果公司8年股价走势
标普500指数基金8年走势
从这个角度来说，约翰•博格的有句话特别有道理。
与其在稻草堆里寻针，不如买下整个草堆。
而这也是他被人们称为“指数基金之父”的原因。
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对我们普通人来说，因为收入在逐渐积累，所以只能选择定投的方式来投资。那么定投的收益率如何呢？
在书中，作者举了三个不同的投资策略。
1、总共有1万元资金，每次都买一只股票。运气特别好的话可以挣很多钱，但最可能的结局是几何平均值，变成1.95元。
2、总共52万元资金，每周一投入1万元买股票，周末卖出。结果是一年下来有10%的利润，变成57.2万元。
3、如果资金和时间充裕到可以不顾交易成本，去买市场所有的股票，那么按照市场算术平均值滚雪球，一年下来变成本金的140倍。
这里的第三个策略，就是大盘指数，不过现在实际上门槛可是低得多了，100元起购，要不要了解一下？
第二个看起来很像是定投嘛。不过，其实仔细看下来它并不是，因为定投是买入并持有，而不是立马买了就卖。
为了拉平比较，我们假设每周只有1/52万元用于定投，购买市场所有股票（指数基金），那么一年后的总投入也是1万元，总收益是27万元。
定投指数基金的差异对比，by 巴西哥
也就是，在一个52年、年化收益率10%的定投方案中，你最后的收益只有一次投入的大约1/5。
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我觉得讲到这里，对我们普通人有几个启示。
第一，即使在一个整体上涨的市场里，想取得超过市场的平均收益是很难很难的，不如积极拥抱指数基金。
第二，这充分说明了，早日积累投资第一桶金的重要性。如果尽早完成积累，就可以尽早开始进行复利增长，更早实现财务自由。
第三，为了扩大收益，需要坚持在低估时候定投指数基金，买得便宜是硬道理，这样才可以取得更好的收益。
当然，投资路上也并非一帆风顺，比如最近的危机造成了全球股市的动荡。
可话说回来，危机危机，危也是“机”。
不如，定投一下？
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