从远古开始，“无穷”就一直是人类认知领域永远的迷局。上古时代，人类祖先仰观日月经天，俯察江河行地，发出的是跟我们现在一样的疑惑：时空有没有尽头？天外有天，是无穷的吗？如果有穷，有穷之外又是何物？如果无穷，又岂可永远无边无际？时间有没有起点，又有没有终点？先秦时屈原《天问》就明确提出了这些永恒的疑问：“日月安属？列星安陈？”……人类最初直观上感知到的无穷就是空间上的无穷大，就是大海，天空。任何人只需轻轻仰头一望，一个关于无穷的永恒疑问就这样摆在那里，光天化日明目张胆地摆着。泰戈尔（Tagore, 印度诗人）曾经用诗意的句子表达过这个命题: 海，你问的啥咧？是永恒的疑问。天，你说的啥咧？是永恒的沉默。
后来古人又认识到了时间上的无穷，《淮南子》“往古来今谓之宙，四方上下谓之宇”。再后来人们又意识到，除了无穷大的量还有无穷小。庄子“至大无外，谓之大一；至小无内，谓之小一”，可谓对无穷大与无穷小最早的经典表述。至此，人类对于无穷的初步直观感性认识已经完成。那就是，无穷是一个迷局，一个永恒的悖论。
之后，对无穷的思考开始进入人类精确思维领域，西方和东方的先哲似乎都同时注意到了类似的现象。
西方的芝诺（Zeno）最初提出了“芝诺悖论”，他深切地感到人类对于无穷的矛盾理解会产生悖论。首先芝诺构造了一个“运动是不可能的”所谓两分法悖论，大致是说，如果要从A点运动到B点，那么你必须要先运动到A和B之间的中点C，而你要到达C点，又必然要先到达A和C的中间点D……如此无穷推演下去你将不得不先经过无穷无尽多个中点，然而你不可能实现到达无穷无尽的点，所以运动是不可能实现的。这个悖论由于规定了均分点（需平均分段）而显得好像不太具有一般性的普适意义，所以芝诺又提出了著名的“阿基里斯追龟”悖论，即乌龟和擅跑之神阿基里斯（Achilles）赛跑，先让乌龟在阿基里斯前面一段路再让阿基里斯去追这只龟，芝诺说阿基里斯要追上乌龟必须首先要到达乌龟的出发点，而当阿基里斯到达乌龟的原出发点时，乌龟必定又往前跑了一小段，无论它跑得多慢其跑过的路程也必然是一个大于零的正数。现在龟在前面一小段，阿基里斯要追上龟那么又得继续这个过程，跑到乌龟的位置，然而乌龟在这段时间又必然往前跑了更小的一小段…… 这样无穷无尽地跑下去，所以结论是阿基里斯永远也追不上乌龟。而且这个方法逻辑上确保了乌龟总是跑在前头而不必把所需通过的路程一再地平分，所以比两分法更加生动有力，更普适。这实际上是对时间和空间无穷可分的诘难。然而，如果你据此认为时间和空间不能无穷可分，运动是一个非连续的过程，芝诺马上又提出了“飞矢不动”悖论，射出去的箭在空中飞行的一个瞬间，此箭必定只能占据与它本身体积完全等同的一个固定大小的空间，所以箭在此瞬间是不动的。同理，在其他任何瞬间，此箭也都是像这样不动的，所以射出去的箭是不动的。同样的，东方的先哲也有类似的命题。《庄子·天下》“一尺之棰,日取其半,万世不竭”，这就是芝诺两分法，公孙龙“飞鸟之影未尝动也”，“镞矢之疾而有不行不止之时”，就是芝诺的飞矢不动悖论。究其根本就是人类对于无穷小量的认识存在矛盾。
东方的名家、墨家最早提出的这些逻辑哲学上的悖论，由于名家与墨家的迅速衰落而未被足够重视，这些悖论也仅成为茶余饭后的戏论，沦为儒家道家借以取笑这些玩弄逻辑游戏的辩士的笑柄，天选子之形，子以坚白鸣。后来三国时期的刘徽，借助无穷可分的思想发明“割圆术”来求圆的面积、圆柱的体积，或可算是对无穷小量灵活运用的一次成功尝试。（至于为何东方哲学不像西方哲学那样爱智求真而把这些重要的哲学命题视为笑柄轻易略过，这是另一个重要的课题，我有另文论述。）
相较于东方世界对哲学、科学、逻辑学的漠视（而对人伦关系重视），西方哲人对这些悖论的思考却从未停止。古希腊时期人们无法准确定义和理解这种无穷小，所以当时数学上对无穷小采取的方法是粗暴的“禁用”。古希腊欧几里得的几何学就不得使用无穷小。由于谁也说不清这个无穷小的量，干脆都别提。直到十七世纪，牛顿（Isaac Newton）和莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz）发明微积分这种数学算法，开始用无穷小量定义微积分。不得不说牛顿和莱布尼兹是欧洲十七世纪最耀眼的大神，其牛逼的程度路人皆知，无需赘言。当时他们对微积分的定义方法是通过导数（那时称流数，就是瞬时速度，切线斜率，即现在的导数），采用无穷小作为分析工具。导数就是瞬时速度。已知连续运动的路径，求给定时刻的速度（即微分法）；已知运动的速度，求给定时间内经过的路程（即积分法），这是牛顿1671年在《流数术和无穷级数》提出的核心问题。莱布尼兹1684年发表微积分的文献，从几何学的角度正式解答这些问题。
另一方面，对于时空的无穷性的追问，哲学家康德采用了另一种方式: 时间和空间概念是人类理解世界的方式。时空并非是一种客观存在。此思想在他的“二律背反”命题中有论述。
这些科学、哲学大神的研究和发现，使得哲学、科学、人类理性的作用越来越明显，而宗教神学相比之下却显得每况愈下。科学每进一步，神学就退一步，而十七世纪牛顿又显著地加快了这个“人进神退”的过程。比如，最初人类相信，凡运动体皆有灵，太阳月亮周而复始运动，那是太阳神月亮神促使其运动，地球上动物跑跳，可以运动，是因动物有灵。有灵才能有力，有力才能运动。然而牛顿说，力不是运动的原因，力是改变物体运动状态的原因，并提出著名的牛顿三大定律。神学说星球的运动是完美的圆周运动，因为神是完美的所以其运动必定也是完美的圆。然而牛顿计算出星球是类似椭圆的运动。各天体如此运动是由于万有引力的作用。在科学面前，神学节节败退。也难怪宗教界对科学界势同水火，视之为异端邪说，欲烧之而后快（如布鲁诺Giordano Bruno就被视为异端而烧死在罗马鲜花广场了）。
当牛顿和莱布尼兹的微积分提出时，英国大主教、唯心哲学家贝克莱（George Berkeley）于1734写文章攻击微积分定义的无穷小量是一个“已消失的量的幽灵”。不得不说，主教的这个说法，虽然是出于神学与科学势难两立的斗争需要，但是也确实具有一定的合理性。按照当时牛顿莱布尼兹的微积分定义，贝克莱明确提出了求X'2导数的等式：在下述等式中，3式的无穷小量为零，而1式的无穷小不为零。
这个问题牛顿自己也无法圆满地解释，莱布尼兹亦不能自圆，后来就被称之为“贝克莱悖论”，此矛盾直到十九世纪才最终得以基本解决。从波尔查诺、阿贝尔、柯西、狄里赫利等人的数学分析工作开始，到威尔斯特拉斯、狄德金和康托尔的研究工作结束，中间经历了许多数学家的努力，才终于为数学分析奠定了一个逻辑严密的基础。波尔查诺给出了连续性的正确定义；柯西运用数学极限的概念，指出无穷小和无穷大都不是固定的量而是变量，无穷小量就是以零为极限的变量；重新定义了导数和积分；威尔斯特拉斯最终给出极限、连续的定义，建立了实数理论，用极限的方法来定义导数、积分的概念。康托尔则是运用集合论重新改造数学的底层逻辑，把数学建立在严密的集合论的基础之上。因为集合论是看起来最简单最普适的理论模型，只需要定义最少的概念如集合、集合运算（相等，包含等）即可。至此，所谓“数学史上的第二次危机”才终于告一段落。
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