前言

直方图均衡的核心思想是将图像中每个灰度级的概率均匀化。从直方图上，可以明显观察到均衡化后的图像直方图较处理器的更加平坦，亦即分布均匀。下面给出数学证明及Python实现。

1 数学证明

目标变换

$S = T(r) = (L-1)\int_0^rp_r(w)dw$

$T(r)$ 为严格单调函数，可保证反映射时，消除二义性

$p_r(w)$ 为源图像归一化后的直方图

1.1 假定

图像灰度级为： $[0, L-1]$
源图像中， $k$ 灰度级的像素个数： $n_k$
源图像像素总数： $n$
原图像直方图 $h(r_k) = n$

1.2 归一化后的直方图

$p(r_k) = n_k / n$
$p(r_k)$ 即为灰度级 $r_k$ 在源图像中出现的概率估计

1.3 证明

概率密度函数的积分为分布函数，即对分布函数的导数为概率密度函数。

因为 $p_r(r)$ 与 $T(r)$ 已知，则由
$\frac{{\rm d}r}{{\rm d}S} = \frac{p_s(s)}{p_r(r)}$
又因为
$S = T(r)$
即
$\frac{{\rm d}S}{{\rm d}r} = \frac{T(r)}{r}$
联立上三式及目标变换
$S = T(r) = (L-1)\int_0^rp_r(w)dw$
可得
$p_s(s) = \frac{1}{L-1}$
故，这意味着变换之后的图像的灰度级为均匀分布，证毕。

2 Python实现

import numpy as np


def hist_equalization(intput_signal):
    '''
    直方图均衡（适用于灰度图）
    :param intput_signal:   输入图像
    :return:    直方图均衡化后的输出图像
    '''

    output_signal = np.copy(intput_signal)   # 输出图像，初始化为输入

    intput_signal_cp = np.copy(intput_signal) # 输入图像的副本

    m, n = intput_signal_cp.shape # 输入图像的尺寸（行、列）

    pixel_total_num = m * n  # 输入图像的像素点总数

    p_r = []   # 输入图像的概率密度
    p_s = []   # 输出图像的概率密度

    # 求输入图像的概率密度函数
    for i in range(256):
        p_r.append(np.sum(intput_signal_cp == i) / pixel_total_num)

    # 求输出图像的概率密度函数
    single_pixel_class_probobility_t = 0  # 临时存储某一灰度级的概率
    for i in range(256):
        single_pixel_class_probobility_t = single_pixel_class_probobility_t + p_r[i]
        p_s.append(single_pixel_class_probobility_t)

    # 求解变换后的输出图像
    for i in range(256):
        output_signal[np.where(intput_signal_cp == i)] = 255 * p_s[i]

    return output_signal