hello，大家好，今天我们来初步总结一下所有单细胞分析用到的NMF。
我们先来简单回顾一下批次矫正的方法liger。LIGER 是 19年发在 Cell 上的，算是连着自己的 resource 发了自己的计算方法。 在我分享的文章中10X单细胞（空间转录组）数据整合分析批次矫正之liger中详细分享了liger，其中用到了iNMF，我们这次也要详细的讲解。
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其实liger批次矫正的核心思想是非负矩阵分解，希望两个 batch 的数据在分解中满足一定性质，共享尽可能多的信息，并且认为这部分共享的信息就是生物信息。
两个 batch 的数据可以写成如下形式，表达谱可分为 biological 信息和 technical 信息的加和。
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MNN 假设（关于MNN就不再赘述，网上说了很多了）
关于 MNN 在这个框架下的假设
、
正交，也就是 Biology variance 和 batch effect 所代表的的方向相互正交。
|
- 
| >> |
α - 
ζ|， 即 不同 Cell 之间的生物差异远大于 Batch 之间的差异时。
根据这两个假设，可以从上述的
= 
+ 
中推导出 MNN 的目标函数。（不包括校正那一步）
LIGER
接下来我们看 LIGER 的关键部分，也就是两个非负矩阵分解，但是在分解过程中不同 batch 之间共享一组 W （可以看成代表生物 module ），另外还有一部分代表 data specific 的technical module 来 model batch effect。
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写成数学表达式也就是
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首先在这篇文章中 gene cell 的维度和之前说的是反过来的，如果顺过来也就是
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对比上文 MNN 中的式子
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可以发现，其实 LIGER 中也就是 = 、
= 
、
= 
= 
，然后这些矩阵均非负。
此时再观察 LIGER 的优化目标
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可以看到还有一项是关于
的惩罚，而
其实是
，这表示希望学到的尽可能小，反之即希望学到的尽可能大，也就是保留尽量多的共享生物信息。
所以总结一下 LIGER 在之前模型上的假设
1、 =
、
=
、
=
=
，说明给定 biological module 和technical module 之后，这个 loading 应该是大家共享的，也即说明两者有一定的关系，可以由同一个 factor loading 控制。
-
-
Summary
这些模型其实都是下述模型在不同假设情况下的特列
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其实liger最核心的思想就是integrative non-negative matrix factorization (iNMF)。
接下来我们就来分享各种NMF，其实关于NMF的分享，我已经写了很多，文章在10X单细胞（10X空间转录组）之NMF的实际运用示例（探索肿瘤特征）、10X单细胞（10X空间转录组）数据分析之约束非负矩阵分解（cNMF）等，供大家参考。
首先是iNMF
我们来看 iNMF 中的目标函数为：
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其实 LIGER 就是从 iNMF 中来的（上面讲了），一模一样。 但是值得说明的是， iNMF 原文目的是为了多组学的数据，也就是同一个 sample 测了多种组学，但是 LIGER 将整合多组学的方法顺延到了整合不同 batch 上（当然其实也非常明显，不同组学的区别就是 technology 不同， single cell中的 batch effect 当然也可以看做是这个）。
JNMF
而 iNMF 其实是建立在张老师 2009年这篇 JNMF 的基础上的一个延伸，文章在A novel computational framework for simultaneous integration of multiple types of genomic data to identify microRNA-gene regulatory modules，
我们来看两者的目标函数就可以非常清楚的看出这个延伸在哪。
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相比之下 JNMF 只考虑两个数据集之间共享的部分信息，对于各自特有的没有考虑，而 iNMF 考虑了这部分异质性的信息，但在优化的时候又对其做了约束，希望这个异质性的信息尽可能的小，也就是共享的信息尽可能大。（共享的信息其实是说在这个 W 张成的 common space 能尽可能的重构原来的表达谱）。
CSMF
Common and Specific patterns via Matrix Factorization ，顾名思义就同时考虑了共享的和异质性两部分。 但是和 iNMF 最大的区别是，iNMF 假设了在 bio space(W张成)，以及 tech space（V 张成的空间）坐标是相同的，或者两者是共享一套 factor loading 的。 CSMF 去掉了这个限制。但是同时也去掉了对于 specific 部分的惩罚。 话不多说直接看目标函数！
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可以看到区别就是
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也就是上文中说到的 iNMF 假设了在 bio space (张成的空间)，以及 tech space（ 张成的空间）坐标是相同的，或者两者是共享一套 factor loading 的。 而 CSMF 去掉了这个限制。且同时在目标函数中也去掉了对于 specific 部分的惩罚。（这个我感觉不是很合理其实，但是不知道是不是处于优化的考虑）。
cFIT,关于cFIT，文献在Integration and transfer learning of single-cell transcriptomes via cFIT,
cFIT 的核心如下图
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可以看到关键就是在于 cFIT 认为
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这是什么意思呢，其实就是认为最后的 
都是由
这个代表生物真实表达量通过一个线性变化得到的。其中
代表线性变换的 scale,
表示一个 offset。一句话总结， cFIT 认为batch effect 的影响是一个 gene specific 的 线性变换。为 noise 乍一看 cFIT 和之前所述的分解为两部分的 model 并没有什么关系。 但是只要稍作变换就可以看出其实还是原始模型的变种。
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也就是说认为 batch effect 带来的表达谱是线性于 的。
summary
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从上面几个式子可以看出来最关键的部分就是怎么处理这个。
生活很好，有你更好
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