前段时间我们刚刚学习了勾股定理，也就是直角三角形中的三边关系。那么，直角三角形中两个锐角与边有何关系？在普通三角形中，边角又有何关系？这个“关系”，其实是很广泛的，是边与角相加等于某个定值？还是平方后等于某个定值？所以我们需要借助一次函数来确定这样的关系。
我们首先画一个最简单的一次函数y=x,若在这个函数图象上任意取一点P，做PA垂直于x轴，那么此时OAP就形成了一个三角形。这个三角形的锐角，是45°，因为我们的函数是y=x，所以OA=AP。此时，OA与AP的比值是1，函数图象中k的值也是1。并且这其中，不管OA与AP的长度是多少，两边的比值都是相同的。
我们在图中，在画一个函数y=2x，同样的作图。可以发现，此时OA'和P'A'的比值为2。多做几次，并且对比，可以发现随着函数中k的增大，也就是函数图象斜率，以及∠POA的增大，直角三角形两直角边的比值也在增大。所以说，我们有必要关注两边的比值。因为当一个角确定时，其对边与邻边的比值就是确定的。
可以知道，唯一确定的一个角度，对应着唯一确定的一组边的比值。虽然有这种关系，但是我们并不能直接令一个角度等于一组边的比值。需要一种转换，将角度转化成边的比值。这种转化的工具，就是三角函数。
下面就会引入很多新概念~
正弦：sin A=；
余弦：cos A =；
正切：tan A=；
余切：cot A=；
三角函数非常的神奇，你在它一边输入一个角度，就可以输出一组边的比值。同样输入一组边的比值，就可以输出一个角度。这也许就是角度对应着唯一确定的一组边的比值的原因吧
这四个三角函数之间，也有非常多的关系。
既然是在直角三角形中，自然就会联想到勾股定理。于是就有下面我们会用到的规律：
Sin A^2+Cos A^2
=
=
=
因为在直角三角形中，有勾股定理，所以
∴原式=
=1
还可以证明许多cot A×sin A=cos A；tan A×cos A=sin A；cot A×tan A=1；sin A^2+cos A^2=1......
这其中，Sin A^2+Cos A^2=1比较“特别”，在下面也会用到，所以我们来证明一下。
三角函数还有很多“极端情况”，比如∠A等于0°或者90°。如果∠A=0°，那么a，就不复存在了，所以∠A就没有余切了，因为0不能做除数。若∠A=90°，那么b就会变为0，∠A也就不会有正切。
接下来，我们就要探究普通三角形的边角关系。
如图一个任意三角形ABC，已知∠C，AC边长度为b，BC边长度为a，我们要求的，是AB的长度c。首先做AC边上的高BD，就会构造出两个直角三角形，Rt▲ABD与Rt▲BDC。我们设DC长度为x，BD长度为h。在这里，只有∠C，a和b是已知的，h都是我们做出的辅助线，同x一样，是未知的
首先来关注Rt▲CDB，用∠C的余弦，可以得到cos c=,变形一下就可以得到x=cos c·a。在用∠C的正弦，可以得到sin c=
，h=sin c·a。
我们已知AC=b，那么AD就可以表示为b-x，带入x的值就可以得到AD=b-cos c·a。现在关注Rt▲ABD，这个三角形里，两个直角边已知了，那么斜边长度，也就是c就可以用勾股定理求出，也就是：
=
=
=
=
=
上边证明过，一个角的正弦的平方加上余弦的平方等于1
∴原式=
也就得到了
这个式子都与勾股定理非常相似，只是在勾股定理后边加上了一个“2ab·cos c”因为在勾股定理中，∠C是90°，那么，∠C的临边b的长度，就变为0了，所以最后一项变为了0.所以说勾股定理，只是普遍三角形边角关系中，一个特例。
同理我们可以得到：
我们将这些公式，称之为“余弦定理”
到此，普遍三角形的边角关系最重要的内容就探索完了，但是还有很多问题可以进一步探索。比如四个三角函数的命名，都和园有着某些关系，这些关系是什么？三角函数与园有着什么样的关系？
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