1-Number System

日常生活中用得最多的是十进制，还有生活时间的 六十进制 等等。
机器语言是需要机器指令，机器指令是一串0和1组成的二进制编码，可以想象比喻为计算机的语言。如果对计算机发出一个命令，则该命令就要经过数字化编码后才能传送、存储和处理。

回归到本问题：进制转换

十进制 转换 二进制

一般采取除以2，取余数，最后从下往上排列。
十进制用 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 这些数字来表示；它并没有10
这个数字来表示。
同理，
二进制用 0,1这两个数字表示；它并不会有 2 这个数字来表示。
如果你的assignment,quiz,final 表示二进制的题目，你的答案有2这个数字，不用想肯定错了。

举个例子：将 26 转换为 二进制。

十进制转换为二进制

需要注意：
余数是从下往上写
余数是从下往上写
余数是从下往上写

重要事情说说三遍！！！

很多时候，辛辛苦苦计算出来，却高兴太早，顺序写错，白费力气！

好了！ 如果这里搞清楚，我们如果遇到一个比较大的数 比如 317， 那要除下来估计得好久~而且容易出错，有没有简便的方式可以做？

其实有，
如果你记得住 2^n 次方，那计算起来就很简便了。

2的n次幂表

其实我们只要记住两三个比如 2^6=64 2^8=256，就足够了，前后的数我们就可以稍稍自行计算。
回到上面的例子，317，将其改写一下如下

317例子

为了演示清楚 我将一步步写出来，数学好的同学可以直接来到最后的等式。
最终我们会得到这样的等式
317 = 256 + 32 + 16 + 8 + 4 + 1
= 2^8 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^0

317= 2的幂等式

这个时候我们就可以根据2的幂来得到结果。我们留意一下该例子2的幂分别是 8,5,4,3,2,0。

制作一个对照表给大家看看。

317幂对照表

仔细的同学会发现，等式中的幂的数字刚刚好是和二进制对应位置匹配，如果对应位置有值，则对对应的位置输入 1，否则输入 0，最后结果就是绿色那一行。

如果熟悉了，以后得到类似的结果
= 2^8 + 2^5 + 2^4 + 2^3 + 2^2 + 2^0
我们就可以直接写出结果来了。

注意：得到2的幂，建议从右往左填，不要搞错位置。可能有些同学并不觉得这个方式简单，见仁见智，使用自己最合适的方式能够正确计算结果就好。

二进制转八进制

继续拿上面的 317作为例子。
如果我们拿到了317的二进制，那么我们怎样转换为八进制？
首先我们得知道八进制用 0,1,2,3,4,5,6,7 来表示。
在八进制中， 7 是最大的那个数字，对应的二进制表示为 1 1 1 （需要 3 bits 才能表示 7 这个值）。
由此，我们可以将二进制以每三位（3 bits）作为一部分，从右往左来划分。如下图：

317 二进制

划分完毕之后，分别对每一部分计算：

317的八进制

所以最后得出317的八进制就是 （0475）。

二进制转十六进制

有了上面的基础，接下来就是照瓢画葫芦了。
十六进制用 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F 来表示 0 到 15的值。
在十六进制中， F 是最大的那个数字(即 15)，对应的二进制表示为 1 1 1 1 （需要 4 bits 才能表示 F 这个值）。

317的十六进制
所以最后得出317的十六进制就是 （13D）。

二进制减法

这个同学们可能问的比较多，并不是不会，只是一下子从十进制转换到二进制有点不适应而已。看完本例子，希望可以更容易去理解。
首先我们先复习一下普通的 十进制数， 100 - 1 是如何借位算数的。

十进制减法借位

分析：

1. 个位 是0, 0 不够减 1， 向 十位 位借；
2. 十位 也是 0，没有可以给，那 十位 又得向前一位借；
3. 百位 有一个1，它借给 十位， 自己就变成了0；
4. 十位 成功从前一位借到，所以借1当10用；
5. 十位 从自己10 借 1 给个位，那 十位 就剩下 9；
6. 个位 从前一位成功借到，所以借1当10用，10 - 1 = 9；
   最后十进制结果就是 99。

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那我们再进行 "二进制的减法"运算
二进制数 "100" 减去 二进制数 "001"。

二进制减法借位

分析：

1. 第一位是 0， 0 不够减 1，向第二位借；
2. 第二位是 0， 0 没法借，第二位向第三位借；
3. 第三位是 1， 它借给第二位，自己就变成 0；
4. 第二位成功借到 1， 借 1 当 2 用（不要问我为什么当2用，因为二进制嘛）；
5. 第二位将自己的 2 借 1 给第一位，自己剩下 1；
6. 第一位成功借到 1，借 1 当 2 用，2 - 1 = 1；
   最后计算结果是 二进制结果是（011）。
   这里我们验算一下
   二进制 100 对应 十进制是 4
   二进制 001 对应 十进制是 1
   二进制 011 对应 十进制是 3
   所以计算是正确的。

这里举这个简单例子，是希望大家明白这个道理，跨过这个坎。

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十进制负数 转二进制

请记住 规则 ：

1. 先转成绝对值
2. 将绝对值转换二进制
3. 将二进制取反
4. 加 1

例子 十进制数 - 315 转换 二进制。

1. 首先是取绝对值，也就是得到 315
2. 315 转换二进制，按照上面的方法 可以得到： 0001 0011 1011
3. 取反得到 1110 1100 0100
4. 加1,得到 1110 1100 0101
   最后二进制结果是 1110 1100 0101