假设和
是给定的正的常数，然后定义一个函数
。这个函数的定义如下：
。
如果有三个不同的正根
，证明
。
其中， 是函数
的导数。
证：
为了证明，我们可以按照以下步骤进行:
1.明确函数定义:
给定的函数为，其中
和
是正的常数。
2.计算导数:
求导得到。
3.利用函数根的性质:
由于和
是
的两个不同的正根，即
。这意味着在
和
处，函数值均为零。
4.分析导数符号:
我们需要分析和
的符号。由于
在
和
处取得极值(因为它们是根)，所以
和
必须异号。但由于题目要求证明它们的和小于零，我们需要进一步分析。
5.利用函数图像和性质：
由于是一个四次函数（虽然看起来复杂，但我们可以将其视为关于
的二次函数加上常数项进行调整），其图像可能具有多个拐点。然而，由于M和Q是正数，且r是正数，我们可以推断出在某些区间内，函数的增减性。
6.结合具体条件进行推导：
由于，我们可以假设在(0,
)区间内，函数
是递增的（即
)，而在(
,
)区间内，函数可能是递减的（即
)，并且在(
,+∞)区间内再次递增（但这部分对于证明当前问题不是必需的）。
7.得出结论:
由于 和
异号，且我们假设在
处函数由递增变为递减(即
从正变为负)，而在
处函数继续递减(即
，因此可以推断出
。
注意:上述推导中的假设部分(特别是在和
区间的增减性)需要更严格的数学证明来支持。这里的解释是为了提供一个直观的思路。在实际证明中，可能需要利用更高级的微积分技巧或数值方法来验证这些假设。
另外，值得注意的是，虽然题目中提到的是一个四次函数，但通过适当的变量替换(如令
，我们可以将其转化为一个关于
的二次函数加上常数项的形式，这可能有助干简化分析和证明过程。
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