【写在前面的话：我其实是一个在数学方面没有天赋的人，是对数学的热爱迫使我去阅读那些难懂的东西。每一次，我都会获得惊喜：数学是那么神奇，研究数学的过程是那么有趣。以下只是我个人的阅读收获！】
从字面上可以知道，无理数与有理数是对应存在的，事实上，这两个名称的出现与古希腊学者对数的认识有关。
人们把有理数和无理数统称为实数，实数理论的建立完全是为了数学发展的需要。因为无理数是用有理数的极限定义的，因此，出现了一个乍看匪夷所思、细想又顺理成章的事实：人们是在微积分产生以后、在极限理论建立以后，才真正完成了对无理数的刻画。
古希腊的学者，特别是毕达哥拉斯学派，热衷于自然数的研究，他们对自然数有着非凡的想象力。比如，大于1的奇数代表男性，偶数代表女性，因为5是第一个男性数与女性数之和，因此，5象征男女的结合；如果一个自然数所含有因数(本身除外)之和正好等于这个数，那么，这个数就是一个完满数，第一个完满数是6，因为6所含有的因数是1，2，3，又恰好有6=1+2十3。
后来，宗教哲学家圣奥古斯丁无限制地发展了这个想法，在他的著作《天堂》一书中说：“虽然上帝能够在瞬间创造世界，但为了表现天地万物的完满，他还是用了6天。”
一件有实际意义的事情是，毕达哥拉斯发现了数字与音乐之间的关系：两个绷得一样紧的弦，如果一根的长度是另一根长度的二倍，就会产生和谐的声音，这两个音相差八度；如果两个弦长的比为3：2，则会产生另一种和谐的声音，这两个音相差五度。由此，他们得到一般结论：音乐的和声在于多根弦的长度之间成整数比，这样就发明了音阶。
不仅长度成比例可以产生和谐的声音，重量成比例也可以产生类似的效果，古代中国编钟的制作就是根据这个道理。
毕达哥拉斯学派如此热衷于自然数还有一个原因，就是他们认为可以用自然数或者自然数的比来度量自然界的一切事物，以至于有这样的传说：毕达哥拉斯学派中的员发现边长为1的正方形的对角线是不可公度的，他们感到非常震惊，于是就把发现者扔到海里。这就是发现无理数的故事，这个生动的故事充分表明人们对无理数的困惑。这个不可共度的数为根号2，可以用勾股定理计算得到。证明这个长度不可共度要用到反证法。
勾股定理的名称来源王古代中国的数学著作《周髀算经》，其中谈到勾股数：勾三股四径五。西方称这个定理为毕达哥拉斯定理。
无论如何，古希腊学者理解不了根号2这样的数，于是称这样的数为无理数，称能够用整数或者整数的比进行表达的数为有理数。
故事终究是故事，在现实生活中，人们在面积计算的过程中很早就发现了无理数。一个耐人寻味的事实是，在对无理数的刻画中，西方学者都是借助分数形式的有理数，而古代中国的学者，不仅借助分数形式的有理数，还利用了小数形式的有理数，这个事实表现在对圆周率的刻画。
人们很早就知道圆的周长与半径之比为一个常数。如果记这个常数为π，圆半径为r，那么，圆的周长=2πr，圆的面积=πr²。因为π是一个无理数，计算起来是非常困难的，于是人们希望用一个可公度的数近似得到π。
对于π的近似计算，古希腊的阿基米德得到的结果是：在七分之二十二与七分之二十三之间。南北朝时期的祖冲之得到圆周率的结果是：在3.1415926和3.1415927之间。祖冲之得到的圆周率有8位可靠数字，领先世界达九个世纪之久。
祖冲之的约率与阿基米德的结果一样，可以通过计算“内接正九十六边形周长与圆直径”的比得到。
虽然人们很早就发现了无理数，甚至可以给出无理数的定义，即不能表示成分数形式的数，但一直到18世纪，人们还完全不能理解无理数，至少表现在下面两个方面：（1）不能进行无理数的计算；（2）没有认清无理数的性质。到了18世纪，为了数学的严谨性，人们开始认真思考无理数到底是什么。
欧拉认为除了代数数以外，还存在其他类型的数，称这类数为超越数，因为这样的数超越了代数方法的能力之外。比如，欧拉猜想“圆周率”就是一个超越数。
判定π是否为超越数的问题是十分重要的，这涉及古希腊的一个作图问题，这个问题被称为化圆为方：做一个面积等于单位圆的正方形。1844年，法国数学家柳维尔用构造性方法证明了超越数的存在。
1882年，德国数学家林德曼修改了埃尔米特的方法，成功地证明了π是一个超越数，同时彻底解决了化圆为方这个古老的问题。
1872年，康托在《数学年鉴》上发表的文章中，详细讨论了无理数的理论，并且命名了实数。
1872年，戴德金出版了著作《连续性与无理数》，借助划分数轴的思想划分有理数。因为可以把数轴上的点划分为两类，使得一类的点在另一类点的左边，这样的划分能并且只能产生一个点。这样的划分是基于直观感觉的，或者说，可以进行这样划分是一个公理。
实数理论的确立，不仅合理地解释了函数、极限运算，也合理地解释了微积分以及后来逐渐发展起来的微分方程、积分方程、调和分析等学科，也为测度理论的产生奠定了坚实的基础，从而产生了实变函数、泛函分析、概率论等一系列基于测度的分析学科。
从对应的角度思考，自然数来源于对数量的刻画，有理数来源于对比例的刻画，无理数来源于对度量的刻画；基于数量与数量之间的关系，产生了四则运算和极限运算。这便是数量与数量关系的第一次抽象，是一个从感性县体上升到理性具体的思维过程。
从公理的角度思考，皮亚诺算术公理体系定义了自然数和加法，派生出四则运算；为了四则运算的封闭性，把自然数集合扩充到有理数集合；为了合理解释极限运算，把有理数集合扩充为实数集合。这便是数量与数量关系的第二次抽象，是一个从理性具体上升到理性一般的思维过程。
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