题目

编写一个高效的算法来搜索 m x n 矩阵 matrix 中的一个目标值 target。该矩阵具有以下特性：

• 每行的元素从左到右升序排列。
• 每列的元素从上到下升序排列。

示例:

现有矩阵 matrix 如下：

[
  [1,   4,  7, 11, 15],
  [2,   5,  8, 12, 19],
  [3,   6,  9, 16, 22],
  [10, 13, 14, 17, 24],
  [18, 21, 23, 26, 30]
]

给定 target = 5，返回 true。
给定 target = 20，返回 false。

求解思想

最近不经意看到了这个问题，思考了一下，想到了一个递归分治的求解办法。本来既然已经知道求解方法了，依我的个性，就不准备编码来实现这个算法的。奈何前几天刚总结了部分查找算法，刚回顾了一下二分查找，而这个题目又是以二分查找为基础的升级版，所以就想实现一下代码，提升一下写二分查找代码的熟练度。本来以为知道算法思想，编码应该不困难，但是毕竟是打代码嘛，给机器运行的，再加上细节上的考虑不周，还是遇到了些许小问题（逃）。

下面描述一下算法思想：首先根据题目描述，矩阵满足每行元素从左到右升序，每列元素从上到下也是升序。所以对于满足条件的矩阵的所有子矩阵，存在这样一个事实，该矩阵的所有子矩阵左上角第一个元素是子矩阵中最小的元素，右下角最后一个元素是子矩阵中最大的元素。

1. 利用上述事实，我们先沿矩阵的对角线 [1, 5, 9, 17, 30] 进行二分查找。以查找元素 15 为例，首先定位到 9 和 17 之间，此时将矩阵划为四个部分，如下图所示，分别令为 A， B， C， D。

   
   matrix.png
2. 对于 A 矩阵来说，9 是 A 矩阵的最大元素，而 15 比 9 还大，所以 15 不可能出现在 A 矩阵。同理，17 是 D 矩阵的最小元素，而 15 比 17 还小，所以 15 也不可能出现在 D 矩阵。即 15 只可能出现在 B 矩阵或 C 矩阵。
3. 以同样的方式，递归查找 B， C 子矩阵。如果 B， C 子矩阵为行向量或列向量，则直接对 B， C 向量进行普通的二分查找，即可回溯查找结果。

编写代码

算法思想很直观，也很好理解。不过编码需要考虑的面面俱到，而这又是很难的，所以我们需要调试迭代。
C语言的参考代码如下（注释也比较详细，相信理解起来的话问题不大）：

#include<stdio.h>
/*由于C语言不能将维数不确定的二维数组作为函数参数进行传递，所以我们需要像如下方式定位元素*/
int index(int* a, int c, int i, int j){//c是矩阵列数 
    return a[i*c + j];
}

bool searchMatrix(int* a, int c,//这两个参数用于定位矩阵元素 
                    int i, int j, int m, int n,//搜索的矩阵块，(i,j)为左上角坐标，(m,n)为行列数 
                    int target//搜索的目标值 
                    ){
    if(m == 1 && n == 1){//如果查找范围只有一个元素，则比较一次后就可返回查找结果
        if(index(a,c,i,j) == target) return true;
        else return false;
    }
    if(m == 1){//查找范围为一个行向量
        int low = j,high = j+n-1;
        while(low <= high){
            int mid = (low + high)/2;
            int value = index(a,c,i,mid);
            if(value > target) high = mid - 1;
            else if(value < target) low = mid + 1;
            else return true;
        }
        return false;
    }
    if(n == 1){//查找范围为一个列向量
        int low = i,high = i+m-1;
        while(low <= high){
            int mid = (low + high)/2;
            int value = index(a,c,mid,j);
            if(value > target) high = mid - 1;
            else if(value < target) low = mid +1;
            else return true;
        }
        return false;
    }
    //查找范围为一个矩阵
    int e = m < n? m: n;
    int li = i, lj = j, ri = i+e-1, rj = j+e-1;//定位对角线的起点和终点
    while(li <= ri){
        int mi = (li + ri)/2, mj = (lj + rj)/2;
        int value = index(a,c,mi,mj);
        if(value > target) ri = mi - 1, rj = mj - 1;
        else if(value < target) li = mi + 1, lj = mj + 1;
        else return true;
    }
    //此时li=ri+1;lj=rj+1; 
    //下面就需要把所有的可能情况都考虑到
    if(ri < i) return false;
    else if(li > i+e-1){
        if(m > n) return searchMatrix(a,c,li,j,m-n,n,target);
        else if(m < n) return searchMatrix(a,c,i,lj,m,n-m,target);
        else return false;
    }else return searchMatrix(a,c,li,j,m-(li-i),lj-j,target) || searchMatrix(a,c,i,lj,li-i,n-(lj-j),target); 
}

int main(){
    int a[][5] ={
    {1, 4, 7, 11, 15},
    {2, 5, 8, 12, 19},
    {3, 6, 9, 16, 22},
    {10, 13, 14, 17, 24},
    {18, 21, 23, 26, 30}
    };
    if(searchMatrix((int*)a,5,0,0,5,5,26)) printf("True");
    else printf("False");
    return 0;
}