向量内积

设有n维列向量

LeTex代码：\mathbf{x}=\begin{pmatrix} \mathbf{x_1}\ \mathbf{x_2}\ \cdots \ \mathbf{x_n}\ \end{pmatrix},\mathbf{y}=\begin{pmatrix} \mathbf{y_1}\ \mathbf{y_2}\ \cdots \ \mathbf{y_n}\ \end{pmatrix} 定义[x,y]为x向量和y向量的内积： LeTex代码：\begin{bmatrix}\mathbf{x},\mathbf{y}\end{bmatrix}=\mathbf{x}_1\mathbf{y}_1+\mathbf{x}_2\mathbf{y}_2+\cdots+\mathbf{x}_n\mathbf{y}_n 也就是 LeTex代码：\begin{bmatrix}\mathbf{x},\mathbf{y}\end{bmatrix}=\begin{pmatrix} \mathbf{x_1}, \mathbf{x_2}, \cdots , \mathbf{x_n}\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \mathbf{y_1}\ \mathbf{y_2}\ \cdots \ \mathbf{y_n}\ \end{pmatrix}=\mathbf{x^T\ y} 向量内积有如下性质：

• 对称性
  [x,y] = [y,x]
• 线性性质
  [ax,y]=a[x,y]
  [x+y,z]=[x,z]+[y,z]
• 平方性质
  零向量与自己的内积为0；非零向量与自己的内积大于0.
• Schwarz不等式 LeTex代码：\begin{bmatrix}\mathbf{x},\mathbf{y}\end{bmatrix}^2\leqslant \begin{bmatrix}\mathbf{x},\mathbf{x}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\mathbf{y},\mathbf{y}\end{bmatrix}

两非零向量内积为零，称两向量正交（也就是垂直）。
两两正交的非零向量组成的向量组成为正交向量组。正交向量组的向量线性无关。

向量长度

定义||x||为n维向量的长度，或叫范数

LaTex代码：\left | \left | x \right | \right |=\sqrt{\begin{bmatrix}\mathbf{x},\mathbf{x}\end{bmatrix}}=\sqrt{\mathbf{x}_1^2+\mathbf{x}_2^2+\cdots+\mathbf{x}_n^2}\geqslant 0 当范数为1时，向量是单位向量。