嫦娥三号在月球上着陆：2014重庆卷题7

嫦娥三号在月球上着陆：2014重庆卷题7

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-08-26 22:17 被阅读0次

2014重庆卷题7：嫦娥三号在月球上着陆

如图为“嫦娥三号”探测器在月球上着陆最后阶段的示意图。首先在发动机作用下，探测器受到推力在发动机距月面高度为 $h_1$ 处悬停（速度为 $0$ ， $h_1$ 远小于月球半径）；接着推力改变，探测器开始竖直下降，到达距月面高度为 $h_2$ 处的速度为 $v$ ；此后发动机关闭，探测器仅受重力下落至月面。已知探测器总质量为 $m$ （不包括燃料），地球和月球的半径比为 $k_1$ ，质量比为 $k_2$ ，地球表面附近的重力加速度为 $g$ ，求∶

（1）月球表面附近的重力加速度大小及探测器刚接触月面时的速度大小；

（2）从开始竖直下降到刚接触月面时，探测器机械能的变化。

【解答问题1】

在行星表面，质量为 $m$ 的物体所受万有引力为 $m \cdot \dfrac{GM}{R^2}$

所以， $\dfrac{GM}{R^2}$ 即为行星表面的重力加速度；

记地球的质量和半径为 $M_0,R_0$ ；月球的质量和半径为 $M_1,R_1$ . 则

$\dfrac{g_1}{g}=\dfrac{M_1}{M_0} \cdot (\dfrac{R_0}{R_1})^2 =k_1^{-1} \cdot k_2^2$

月球表面附近的重力加速度大小 $g_1=\dfrac{k_2^2}{k_1} \cdot g$

发动机关闭后，探测器仅受重力作用，根据动能定理有：

$mg_1 h_2 + \dfrac{1}{2}mv^2=\dfrac{1}{2}mv^2_2$

$v^2_2=v^2+2 \dfrac{k^2_2}{k_1} g h_2$

探测器刚接触月面时的速度大小 $v_2= \sqrt{v^2+2 \dfrac{k^2_2}{k_1} g h_2}$

【解答问题2】

从开始竖直下降到刚接触月面时，探测器的运动可划分为两个阶段：

第一阶段：万有引力做正功，发动机做负功；机械能减小；

第二阶段：只有万有引力做功，机械能守恒。

若以悬停点为势能参考点，探测器在该点的机械能为0，在关闭发动机时机械能为 $-\dfrac{k^2_2}{k_1} mg (h_1-h_2)+\dfrac{1}{2}mv^2$

机械能的变化 $\Delta E= -\dfrac{k^2_2}{k_1} mg (h_1-h_2)+\dfrac{1}{2}mv^2$

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