图19表示的是，将圆切成一片一片，再组合成接近于矩形的形状。因为每一小片都很窄，所以矩形的高度大约为圆的半径 r 。同样因为每一片很窄，这个准矩形的上边和下边都近似于直线。上下两边各用了圆的周长的一半，由π的定义知圆的周长为2π r ，则两边长度均近似为 πr 。因此，准矩形的面积是 rx π r =πr的平方———至少是近似如此。
当然了，事实上准矩形的确切面积就是πr的平方，因为我们所做的只不过是把圆切开，再移动各部分而已，但是我们目前还不知道这一点。到现在为止，这个论证可能已经使你确信了，但其实还没结束，因为我们还必须表明，随着切开的片数越来越多，上述近似值会越来越接近πr的平方。一种非常简明的法是利用两个正多边形，一个恰好包含在圆内，一个恰好包含圆。图20用六边形说明了这一点。内接多边形的周长小于圆的周长，而外切多边形的周长大于圆的周长。这两个多边形都可以切成多个三角形，再拼合成平行四边形。一点简易的计算就能够表明，较小的平行四边形面积小于 r 乘以内接多边形周长的一半，因而小于πr的平方。类似地，较大的多边形面积大于πr的平方。如果切出的三角形数量足够大，那么这两个多边形面积之差就会越来越小，想要多小就有多小。因为圆总是包含着小多边形，并被大多边形所包含，所以它的面积必然恰为πr的平方。
这是作者阐明极限与无穷的第三个例子——讨论圆的面积计算。虽然小学六年级数学的学习内容中有认识圆的特征，会计算圆的周长和面积，在作者的笔下我有了新的视角去理解圆的面积计算。
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