问题分析

这题要求将正整数集划分成一族子集，使其满足以下两个条件：
1.无穷个无穷子集。
2.每个子集都能通过将每个元素加上一个常数的方式变为另一个子集。
用数学语言表述如下：
1. $N = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} S_i$ ，且 $|S_i| = \infty$ ，且 $S_i$ 互不相交。
2. $\forall i \in N^+, \exists c \in Z, j \in N^+, j \neq i ,$ 使得 $S_j = S_i + c$ 。

问题转化

题目问能不能，看条件这么蛋疼奇葩就知道肯定能。但是看起来难得一b，所以先看看能不能化简一下问题。考虑到：
1.只满足条件1很简单。
2.奇数和偶数只差了1。
下证：
若存在满足条件1的划分，则必存在共同满足条件1和条件2的划分。
证明：
设 $S_1, S_2, S_3, ...$ ，是满足条件1的一族子集，则:
$2S_1,2S_2,2S_3, ...2S_1+1,2S_2+1,2S_3+1, ...$ 必然也是满足条件1的一族子集。且 $2S_i$ 和 $2S_i+1$ 相互只差了一个常数1，因此也满足条件2。

问题解决

由此，问题转化为了寻找满足条件1的划分。这就简单了，构造方法如下：
$S_1$ 是所有奇数构成的集合。
$S_2$ 是自然数去掉 $S_1$ 后剩下数从小到大排列后所有排在奇数位置的数构成的集合。
$S_3$ 是自然数去掉 $S_1, S_2$ 后剩下数从小到大排列后所有排在奇数位置的数构成的集合。
以此类推。
因此，存在满足条件1的划分。
综上，存在满足题意的划分。