2019-02-25

作者: 七龙珠Z | 来源:发表于2019-02-26 19:57 被阅读0次

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第三讲：自然坐标系下曲线运动的加速度

—— 以圆周运动为例

数学符号

$\vec{e}_n$ , $\vec{e}_{t}$ , $\frac{x}{y}$ , $\sqrt{x}$

对应的代码为
$\vec{e}_n$, $\vec{e}_{t}$, $\frac{x}{y}$, $\sqrt{x}$

知识点

曲线运动的加速度 $\vec{a}$
- 自然坐标系， $\vec{e}_n$ ， $\vec{e}_{t}$
- 匀速圆周运动的加速度，向心加速度 $a_n=\frac{v^2}{R}$
  - 写成矢量式 $\vec{a}_n=\frac{v^2}{R}\vec{e}_n$
- 直线运动的加速度，切向加速度 $a_t=\frac{dv}{dt}$
  - 写成矢量式 $\vec{a}_t=\frac{dv}{dt}\vec{e}_t$
- 变速圆周运动的加速度
  - $\vec{a}=\frac{v^2}{R}\vec{e}_n+\frac{dv}{dt}\vec{e}_t$
- 一般曲线运动的加速度
  - $\vec{a}=\frac{v^2}{\rho}\vec{e}_n+\frac{dv}{dt}\vec{e}_t$
- 曲率半径的直观感受
- 计算曲率半径

例题

例1.

曲线运动中，加速度经常按切向 $\vec{e}_{t}$ 和法向 $\vec{e}_{n}$ 进行分解：

$\vec{a}=\vec{a}_{t}+\vec{a}_{n}=\frac{dv}{dt}\vec{e}_{t}+\frac{v^{2}}{R}\vec{e}_{n}$

借助熟悉的例子来构建其直观物理图像，有助于理解并记忆这些复杂的公式。
- 在弯曲的轨道上匀速率行驶的火车，
  (1) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
  (2) $\vec{a}_{t}=0$ ，
- 在直线上加速跑向食堂的小伙伴，
  (3) $\vec{a}_{t}\neq0$ ，
  (4) $\vec{a}_{t}=0$ ，
- 变速圆周运动的质点，
  (5) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $\vec{a}_{n}=0$ 。
  (6) $\vec{a}_{t}\neq0$ ， $a_{n}=\frac{v^{2}}{R}$ (不就是高中学过的向心加速度嘛)
  
  上述判断正确的为

解答：(2) (3) (6)

例2.

一个质点在做圆周运动时,则
- 切向加速度一定改变, 法向加速度也改变
- 切向加速度可能不变, 法向加速度一定改变
- 切向加速度可能不变, 法向加速度不变
- 切向加速度一定改变, 法向加速度不变

解答：B

例3.

物体作斜抛运动，初速度大小为 $v_{0}$ ，且速度方向与水平前方夹角为 $\theta$ ，则物体轨道最高点处的曲率半径为( )。

解答：
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当轨迹运动到最高点时有 $a_{n}=g$
因 $a_{n}=\frac{v^2}{\rho}, v=v_{0}\cos{\theta}$
所以 $\rho=\frac{(v_{0}\cos{\theta})^2}{g}$ ,

例4.

质点在 $Oxy$ 平面内运动，其运动方程为 $\vec{r}=t\ \vec{i}+\frac{1}{2}t^{2}\ \vec{j}$ ．则在 $t=1$ 时切向和法向加速度分别为( )

解答：加速度为 $a=|\frac{d\vec{r}}{dt^2}|=1m/s^2$ ，
速率为 $v=|\frac{d\vec{r}}{dt}|$ ，
切向加速度为 $a_n=|\frac{dv}{dt}|= \frac{\sqrt{2}}{2}m/s^2$ ，
因 $a=\sqrt{a_n^2+a_t^2}，$
发向加速度为 $a_t=\frac{\sqrt{2}}{2}m/s^2$

作业

质点在Oxy 平面内运动,其运动方程为 $\vec{r}=3t\ \vec{i}+(1-t^{2})\ \vec{j}$ ．则在 $t_{1}=1$ 到 $t_{2}=5$ 时间内的平均速度为

解答：1s时位矢 $\vec{r_1}=3\vec{i}$ ，
5s时位矢 $\vec{r_2}=15\vec{i}-9\vec{j}$
平均速率 $\vec{v}=|\frac{\vec{r_2}-\vec{r_1}}{t_2-t_1}|=3.75m/s$

设质点的运动学方程为 $\vec{r}=R\cos{\omega t} \vec{i}+R\sin\omega t\ \vec{j}$ (式中 $R$ 、 $\omega$ 皆为常量) 则质点的速度和速率分别为

解答:质点的速度为 $\vec{v}=\omega R\cos{\omega t}\vec{j}+\omega R\sin\omega t\vec{i}$
质点的速率为 $v=\sqrt{(\omega R\cos{\omega t})^2+(\omega R\sin\omega t)^2}$

运动学的一个核心问题是已知运动方程，求速度和加速度。质点的运动方程为
$\begin{cases} x=-10t+30t^{2} & ,\\ y=15t-20t^{2} & , \end{cases}$
则 $t$ 时刻的速度与速率

解答：
t时刻水平速率为 $v_{1}=-10+60t,$
t时刻竖直速率为 $v_{2}=15-40t,$
t时刻速度为 $\vec{v}=(-10+60t)\vec{i}+(15-40t)\vec{j}$
t时刻速率为 $v=\sqrt{v_{1}^2+v_2^2}$

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