同余方程(组)

作者: 洛玖言 | 来源:发表于2019-10-16 13:13 被阅读0次

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定理1

（i）
欧拉函数 $\varphi(n)$ 是积性的，即如果 $(m,n)=1$ ，则有
$\varphi(mn)=\varphi(m)\varphi(n)$

（ii）
设 $n\geqslant2,\,n=p_1^{\alpha_1}\cdots p_k^{\alpha_k}$ 是 $n$ 的标准分解，则

$\displaystyle\varphi(n)=n\prod_{i=1}^k(1-\dfrac{1}{p_i})$

（iii）
设 $n$ 是正整数，则

$\displaystyle\sum_{d|n}\varphi(d)=n$
其中求和表示 $d$ 通过 $n$ 的所有正约数.

定理2(欧拉定理)

设 $m$ 为正整数， $a$ 为整数且 $(a,m)=1$ ，则 $a^{\varphi(m)}\equiv1\pmod{m}$

定理3（费马定理）

设 $p$ 是素数， $a$ 为整数且 $p\not|a$ ，则
$a^{p-1}\equiv1\pmod{p}\tag{1}$

费马定理等价于下面更便利的

定理3'

设 $p$ 是素数，则对任意整数 $a$ ，有

$a^p\equiv a\pmod{p}\tag{2}$

实际上，当 $p\not|a$ 时，（1）与（2）是等价的；而当 $p|a$ 时，（2）显然成立.
因此定理3 与定理3' 是等价的.

$\begin{aligned} &\lim_{x\to1}\dfrac{x^n-1}{x-1}\\ =&\lim_{x\to1}\dfrac{(x-1)(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1)}{x-1}\\ =&\lim_{x\to1}(x^{n-1}+x^{n-2}+\cdots+x+1)\\ =&n \end{aligned}$

$\begin{aligned} &\lim_{x\to\infty}\dfrac{2x+1}{\sqrt[5]{x^3+x^2-2}}\\ =&\lim_{x\to\infty}\dfrac{2+\frac1x}{\sqrt[5]{\frac{1}{x^2}+\frac{1}{x^3}-\frac{2}{x^5}}}\\\rightarrow&\infty \end{aligned}$

$\begin{aligned} &\lim_{x\to\infty}\dfrac{(2x-1)^{30}(3x-2)^{20}}{(2x+1)^{50}}\\ =&\lim_{x\to\infty}\dfrac{(2-\frac1x)^{30}(3-\frac2x)^{20}}{(2+\frac1x)^{50}}\\ =&\dfrac{2^{30}\cdot3^{20}}{2^{50}}\\ =&(\dfrac{3}{2})^{20} \end{aligned}$

$\begin{aligned} &\lim_{x\to0}\dfrac{\sqrt[n]{1+x}-1}{\frac xn}\\ =&\lim_{x\to0}\dfrac{(\sqrt[n]{x+1}-1)(\sqrt[n]{(x+1)^{n-1}}+\cdots+\sqrt[n]{x+1}+1)}{\frac xn\cdot(\sqrt[n]{(x+1)^{n-1}}+\cdots+\sqrt[n]{x+1}+1)}\\ =&\lim_{x\to0}\dfrac{x+1-1}{x}\\ =&\lim_{x\to0}1\\ =&1 \end{aligned}$

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