映射概念
定义 设
,
是两个非空集合,如果存在一个法则
,使得对中每个元素
,按法则,在中有唯一确定的元素
与之对应,那么称为从到的映射,记作
其中称作元素(在映射下)的像,并记作)
,即%2C)
而元素称为元素(在映射下的)一个原像;集合成为映射的定义域,记作
,即
;中所有元素的像组成的集合称为映射的值域,记作
或)
,即%3D%5C%7B%20f(x)%7Cx%5Cin%20X%20%5C%7D.)
单射 若对中任意两个不同元素
,它们的像%5Cnot%20%3Df(x_2))
,则称为到的单射.单射意味着对于任意
在内有唯一原像.
映射又称为算子.根据集合,的不同情形,在不同的数学分支中,映射又有不同的惯用名称.其中从实数集(或其子集)到实数集的映射称为定义在上的函数.
逆映射
设是到的单射,则由定义,对每个
,有唯一的
,适合%3Dy)
.于是,我们可以定义一个从到的新映射
,即
对每个,规定%3Dx)
,这满足.这个映射称为的逆映射,记作
.其定义域
,值域
.
函数概念
定义 设数集
,则称映射
为定义在
上的函数,通常简记为%2C%20x%5Cin%20D%2C)
其中称为自变量,称为因变量,称为定义域,记作,即
.
反函数
设函数)
是单射,则它存在逆映射%5Cto%20D)
,称此映射为函数的反函数.
定理 若是定义在上的单调函数,则是单射,于是的反函数必定存在,且也是)
上的单调函数.证明见同济高等数学P10.
反函数求导法则
设函数)
在区间
内单调、可导,且%5Cnot%20%3D0)
,那么它的反函数)
在区间%2C%20y%5Cin%20I_y%5C%7D)
内也可导,且![[f^{-1}(x)]'=\frac{1}{f'(y)}\ \ 或\ \ \frac{dx}{dy}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}.](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Bf%5E%7B-1%7D(x)%5D'%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bf'(y)%7D%5C%20%5C%20%E6%88%96%5C%20%5C%20%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdy%7D%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Cfrac%7Bdx%7D%7Bdy%7D%7D.)
证明见同济高等数学P87.
在求值中的应用
由于在法则中和具有一一对应的关系,所以可以在不求出反函数的导函数公式的情况下,直接通过原函数的导数求得反函数在对应点的导数值,即)
,则![[f^{-1}(b)]'=\frac{1}{f'(a)}](https://math.jianshu.com/math?formula=%5Bf%5E%7B-1%7D(b)%5D'%3D%5Cfrac%7B1%7D%7Bf'(a)%7D)
.
例题见同济高等数学P244 习题5-2 6.
例题
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