因式分解

今天要探讨的是关于因式分解的问题。因式分解本来是我们在八下才会学习的内容，而我之所以可以在现在就进行自我探索，是因为他和我们最近在学习了整式的乘法和除法有着莫大的关系。

因式分解是什么呢？说简单一点也就是把一个加法代数式转化成乘法的形式，一般可以被用于整式的除法。在计算一个算式的时候，并不是每一步都叫做因式分解，只有将多个单项式相加，变成多个单项式或多项式相乘时，才算是因式分解，比如：

1.（3x+3y）（x+y）

2.=3（x+y）（x+y）

3.=3（x+y）²

只有将第1步转化成第2步的过程才叫做因式分解，将第2步转化成第3步，并不叫做因式分解。

我们要学习的要探索的，也就是因式分解的种种方法。可以大胆猜测一下，由于因式分解是为了整式的除法服务的，而乘除又互逆，在学习整式乘法的时候，我们学过许多的公式，比如说完全平方公式和平方差公式，那么我们是否将这些公式逆过来用就是因式分解呢？答案是肯定的，但是具体怎么操作呢？这就是我们下面要进行了解的了。

最简单的方法也就是逆用乘法分配律，比如：

3x+3y+3z

=3（x+y+z）

正常来讲我们可以把3（x+y+z）变成3x+3y+3z，这也正是整式的乘法，正是乘法分配律。而以上所讲的因式分解的方法，也正是把刚才我所说的逆过来用乘法分配律。

他的名字叫做提取公因式法，公因式实际上也就是共同拥有的因式，提取公因式，也就是提取每一个单项式共同拥有的因式。就比如我上面的例子，实际上就是提取出了公因式3。

提取公因式法的一般形式是这样的：

ax+bx+cx

=x（a+b+c）

那么公因式一般都可以是什么形式呢？一般是可以以单项式的形式以及多项式的形式出现。就比a，这是一个单项式。再比如2X+Y，这是一个多项式，但本质上他们都可以被作为公因式提取出来。

接下来的方法叫做公式法。也就是逆用我们学过的完全平方和公式和完全平方差公式和平方差公式。那么公式法的形式可以是哪些呢？我认为单项式和多项式也都是可以的。比如说a²+2ab+b²和a²b²+4abcd+4c²d²，他们都可以逆用完全平方和公式进行因式分解。

先来说一下逆用平方差公式。首先举一个例子，比如说：

a²-81

应该如何因式分解呢？首先我们可以把这个算式变成：

a²-9²

然后就可以逆用平方差公式把它变成：

（a+9）（a-9）

那么逆用平方差公式进行因式分解的一般形式也就是：

a²-b²=（a+b）（a-b）

接下来是逆用完全平方和公式：

x²+2x+1

逆用完全平方和公式将其变成：

（x+1）²

那么逆用完全平方和公式进行因式分解的，一般形式也就是：

x²+2xy+y²=（x+y）²

逆用完全平方差公式和逆，用完全平方和公式同理。

接下来要说的是添项法和拆项法。我认为这两种方法的基本原则也就是拆开或添加一个项，使原本的多项式可以直接通过提取公因式法进行分解。

平方差公式的推导过程是这样的：

(a+b)(a-b)

=(a+b)a-(a+b)b

=a²+ab-ab-b²

=a²-b²

我们可以观察到，在推导成最后的结果以后，有一个交叉项被化简掉了，那么我们是否可以在分解a²-b²的时候，将其变成a²+ab-ab-b²，将前两个项提出公因式a，将后两个项提出公因式b，那么算式也就变成了：(a+b)xa-(a+b)xb，然后再提取a+b，最后结果为：(a+b)(a-b)

再举一个例子，比如说：x²+5x+6，我们可以利用拆项法将5X变成2X+3X：

x²+2x+3x+6

将前两个项提出公因式X，将后两个项提出公因式3：

x（x+2）+3（x+2）

再次提出公因式X+2：

（x+3）（x+2）

这就是拆项法和添项法。

最后要说的是十字相乘法，由于是我自己探索的，所以十字相乘法貌似我并没有很搞懂，这里只是大概说一下我的思路。

首先看一类算式的计算过程：

（x+a）（x+b）

=x²+ax+bx+ab

=x²+（a+b）x+ab

我们可以将a和b替换成任何数字，我们推导出来的过程和结果仍然是成立的。

请看一个算式：x²-3x-4

我们要将以上我们推导出来的过程逆过来用，将：x²-3x-4变为一个乘法算式。

首先可以得知a+b=-3，其次ab=-4

那么我们就可以来解一个二元一次方程，算出a和b分别应是多少。

a+b=-3

ab=-4

b=-3-a

a（-3-a）=-4

-3a-a²=-4

3a+a²=4

a²+3a+2.25=6.25

（a+1.5）²=6.25

a+1.5=2.5（也可以为-2.5这里直取值为2.5）

a=1

b=-4

因此，x²-3x-4

=x²+x-4x-4

=x（x+1）-4（x+1）

=（x-4）（x+1）

很明显通过以上我们发现的方法是可行的，可是我却认为如果真的是这样的话，就太麻烦了。毕竟要通过解方程的方法来算出a和B具体是多少，还涉及到我们在以后才会学习的一元二次方程，那么具体有没有更简单的方法算出a和b的值，我认为可能就只能靠数感了。

就比如我们已知了。

a+b=-3

ab=-4

那么首先能够判断的应该是，这里边的a和B有一个是正数，有一个是负数，且负数的绝对值要大于正数。

试想-4都有哪些因数？分别是：

1，-4

-1，4

-2，2

满足我们前面提到的条件的只有1和-4这一组，因此a和b应分别为1和-4，遇到其他的时候，我们也仍然可以这样解决。

我们可以将这种方法称为因数分解（这个名字应该本质不存在，只是自己发明出来的），相当于就是知道了两数的和，知道了两数的乘积，通过分解两数乘积的因数来判断两数到底为多少。

这就是关于我自己探索因式分解的过程。