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52. N皇后 II
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N皇后 II
n 皇后问题研究的是如何将 n 个皇后放置在 n×n 的棋盘上，并且使皇后彼此之间不能相互攻击。
image.png
上图为 8 皇后问题的一种解法。
给定一个整数 n，返回 n 皇后不同的解决方案的数量。
示例:
输入: 4
输出: 2
解释: 4 皇后问题存在如下两个不同的解法。
[
[".Q..", // 解法 1
"...Q",
"Q...",
"..Q."],
["..Q.", // 解法 2
"Q...",
"...Q",
".Q.."]
]
Python3 实现
DFS 深度优先
可参见 LeetCode 51. N皇后(N-Queens)
# @author:leacoder
# @des: DFS 深度优先 N皇后II
class Solution:
def totalNQueens(self, n: int) -> int:
if n < 1 : return [] #
self.count = 0
shu = [] # 竖方向是否被攻击
pie = [] # 撇方向是否被攻击 x y 坐标之和固定 x + y
na = [] # 捺方向是否被攻击 x y 坐标之差固定 x - y
self.DFS(n,shu,pie,na)
return self.count
def DFS(self,n,shu,pie,na): #深度优先搜索
p = len(shu) # 从 1 -> n
if p == n :
self.count += 1 #每层有且只能放一个
return
for q in range(n): # 看成 x 每层枚举可能的 x
if q not in shu and p - q not in na and p + q not in pie: #这一层存在可能位置，向下层搜索
self.DFS(n,shu+[q],pie+[p+q],na+[p-q]) #深度优先搜索 将被攻击的 坐标记录下来
位运算 + DFS 深度优先
image.png
- 以 8 Q为例
从第一行开始 由于棋盘第一行没有放任何皇后那么 row 行 cols 列 pie 撇 na 捺 位没有不可放置的
也就是 下方代码 self.DFS(n,0,0,0,0)处 - 入参：1 表示被攻击，0表示可放置 ，下一行cols pie na 方向上被攻击位置
cols: 0 0 0 0 0 0 0 0
pie: 0 0 0 0 0 0 0 0
na: 0 0 0 0 0 0 0 0
本行（第1行） 所有被攻击位置 col | pie | na
0 0 0 0 0 0 0 0 （1 表示被攻击，0表示可放置）
取反处理后的到：
bits: 1 1 1 1 1 1 1 1 （ 0 表示被攻击位 1 表示可放置位）
选取图中 黄色 Q放置皇后（代码是从右往左一次探索，这里假设在黄色Q处用于说明）
p：0 0 0 1 0 0 0 0 （ 0 表示被攻击位 1 表示可放置位） - 向下一层深度搜索(第 2层)：
self.DFS(n , row + 1, cols | p, (pie | p) << 1, (na | p) >> 1) # 递归处理下一层
那么cols pie na 与 p 处理后得到新的入参 （1 表示被攻击，0表示可放置）：下一行cols pie na 方向上被攻击位置
cols: 0 0 0 1 0 0 0 0
pie : 0 0 1 0 0 0 0 0
na : 0 0 0 0 1 0 0 0
本行（第2行） 所有被攻击位置 col | pie | na
0 0 1 1 1 0 0 0 （1 表示被攻击，0表示可放置）
图中（第2行） 黄色 1
取反处理后的到：
bits: 1 1 0 0 0 1 1 1 （ 0 表示被攻击位 1 表示可放置位）
选取图中 蓝色 Q放置皇后（代码是从右往左一次探索，这里假设在蓝色Q处用于说明）
p：0 0 0 0 0 0 1 0 （ 0 表示被攻击位 1 表示可放置位） - 向下一层深度搜索(第 3层)：
self.DFS(n , row + 1, cols | p, (pie | p) << 1, (na | p) >> 1) # 递归处理下一层
那么cols pie na 与 p 处理后得到新的入参 （1 表示被攻击，0表示可放置）：下一行cols pie na 方向上被攻击位置
cols: 0 0 0 1 0 0 1 0
pie : 0 1 0 0 0 1 0 0
na : 0 0 0 0 0 1 0 1
本行（第三行） 所有被攻击位置 col | pie | na
0 1 0 1 0 1 1 1 （1 表示被攻击，0表示可放置）
图中（第三行） 黄色 1 + 蓝色 1
# @author:leacoder
# @des: 位运算 + DFS 深度优先 N皇后II
class Solution:
def totalNQueens(self, n: int) -> int:
if n < 1: return []
self.count = 0
self.DFS(n,0,0,0,0) #从第一行开始 由于棋盘第一行没有放任何皇后那么 row 行 cols 列 pie 撇 na 捺 位没有不可放置的
return self.count
def DFS(self, n, row, cols, pie, na):
if row >= n: #递归终止条件 深度搜索 n 个皇后均已放在棋盘上
self.count += 1
return
# col | pie | na (1 表示被攻击, 或了以后 等到本行 所有被攻击位置 )
# ~( col | pie | na ) 0 表示被攻击位 1 表示可放置位
# (( 1<<n ) - 1) 形成 n位全1的二进制 筛子 用于 筛选出 n 位内的有效数据
bits = ( ~( cols | pie | na )) & (( 1<<n ) - 1)
while bits:
p = bits & (-bits) # 取出最低位的1 也就是最低位可以放置 皇后Q的位置
# row + 1 下移一层 cols | p : p 上放置 Q 后 cols 列方向被攻击位刷新
# (pie | p) << 1 下一层 pie撇方向被攻击位置刷新
# (na | p) >> 1 下一层 na 捺方向被攻击位置刷新
self.DFS(n , row + 1, cols | p, (pie | p) << 1, (na | p) >> 1) # 递归处理下一层
bits = bits & (bits - 1) #去掉最低位的 1 （表示这种可能已被探寻）
GitHub链接：
https://github.com/lichangke/LeetCode
知乎个人首页：
https://www.zhihu.com/people/lichangke/
简书个人首页：
https://www.jianshu.com/u/3e95c7555dc7
个人Blog:
https://lichangke.github.io/
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