一、费马定理

设函数f(x)在点x0的某邻域U(x0)内有定义，并且在x0处可导，如果对任意的x∈U(x0)，有f(x)≤f(x0)或f(x)≥f(x0)，那么f'(x0) = 0

——《高等数学》同济七版

几何解释

图1-1

如图1-1所示，f(x)若在x0这个点取得极值（图示为极小值），则f(x)在x0这个点的导数为0（即该点斜率为0）；换而言之，存在极值=>导数为0。

哲学解释

小涵在某中学的一个普通班级，班上的同学都不爱学习，于是乎小涵每次考试都是班上的第一名，有一次考试小涵根本没复习，完全裸考，还是考了第一名，从此以后小涵就觉得没必要努力学习，反正自己肯定是第一名，某年六月，小涵的高考成绩出来了，果不其然他还是班上第一名，只不过全省排名到了2万开外。

《庄子秋水》中有一句名言：“井蛙不可以语于海者，拘于虚也；夏虫不可以语于冰者，笃于时也；曲士不可以语于道者，束于教也。”无论是井娃、夏虫还是曲士他们都只生活在局部里，生活在自己的邻域中，于是便只会认死理，便不愿改变，便导数为0，便停滞不前，便称为驻点，位处局部之顶，易沾沾自喜；位处局部之底，易破罐破摔。

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二、罗尔定理

如果函数f(x)满足

（1）在闭区间[a, b]上连续

（2）在开区间(a, b)内可导

（3）在区间端点处的函数值相等，即f(a) = f(b)

那么在(a, b)内至少有一点ξ (a<ξ<b)，使得f'(ξ) = 0

几何解释

图2-1

如图2-1所示，在ab区间内，两端点的连线若平行于x轴，则ab区间内必存一点ξ，使其切线也平行于x轴（导数为0），换而言之，端点相等=>导数为0。

物理解释

假设小涵在直线跑道上来回跑动（两端点值相等），在转身的那一刻小涵的速度为0（导数为0）。

哲学解释

有时候觉得，人生中的某一天，就可以代表我的一生，我们都是从一无所有中来，最后回到一无所有中去，从白天到黑夜，从拂晓到夕阳。

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三、拉格朗日中值定理

如果函数f(x)满足

（1）在闭区间[a, b]上连续

（2）在开区间(a, b)内可导

那么在(a, b)内至少有一点ξ (a<ξ<b)，使等式f(b)-f(a) = f'(ξ)(b-a)成立

——《高等数学》同济七版

几何解释

图3-1

如图3-1所示，ab区间内必存一点ξ，使其切线平行于f(a)f(b)两端点的连线（斜率相等），换而言之，端点斜率=某点斜率（拉格朗日中值定理可以说是无条件成立）。

注：拉格朗日中值定是微分近似计算（y2 = y1 + y1'(y2-y1)）的理论基础。

物理解释

假设小涵在操场上随意跑动（好似无条件），总有一刻的瞬时速度等于平均速度。

哲学解释

《马克思主义基本原理概论》中写到——标志客观事物的可分性和统一性，整体是构成事物的诸要素的有机统一，部分是整体中的某个或某些要素。因此整体由部分组成，总有一个部分可以近似代表整体，就像泰勒公式所展开的多项式一样，总有较大的一项能代表整体。

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四、柯西中值定理

如果函数f(x)及F(x)满足

（1）在闭区间[a, b]上连续

（2）在开区间(a, b)内可导

（3）对任一x∈(a, b)，F'(x) ≠ 0

那么在(a, b)内至少有一点ξ，使等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)] = f'(ξ)/F'(ξ)

几何解释

图4-1

如图4-1所示，把切线的斜率进行相比较，（上面的两根线）红色：蓝色 =（下面的两根线）红色：蓝色；或者说，红色的线：红色的线 =蓝色的线：蓝色的线；换而言之，端点比值 = 导数比值。

注：f(x)和F(x)两个函数里至少要有一个在区间内为单调递增或递减（导数不为0）。

物理解释

假设小涵和小张一起在操场上随意跑动同一段时间，总有一刻，他两的平均速度之比等于瞬时速度之比。

哲学解释

同时生而为人，每一个人的幸福感是一样的，只不过触发条件不一样，有的人觉得朝九晚五是幸福，有点人觉得环游世界是幸福，有的人觉得子女幸福是幸福。