要了解态与态的表示，首先，要理解向量空间的本质，到底什么是向量空间，为什么起这个名字。
最简单的例子就是线，平面，和空间。一条线，取定原点后，通过一个实数就能表示出来。平面，视为两条线组合而成，空间，为三条线组合而成。将这个过程推广，就是有限维向量空间。视为n条线，每条线上可独立取值。所以可以取n个值。
向量空间就是指这些线所构成的东西，向量意为有方向的量，因为对于平面和三维空间，总可以将这些值所描述的点和原点连起来，变成一个箭头，箭头有方向和长度，也就同时具有方向和大小，与只具有大小的量相区别，就称为向量。
在描述向量空间时，我们天然的给出了他的一个表示，所谓实线上的点可以用一个数表示，平面就是两个数。这种表示是通过两种运算，加法和数乘实现的。
不同方向之间是加法，数乘确定了某一方向上量的大小。经过简化，就是数对的形式了。两个方向间的夹角也是无所谓的，只要不是平行和反向平行，对于方向的加法而言，不会出现问题，其实就是向量加法，有三角形法则等形象的表示。
到此，关于有限维的向量空间的表示，其实就结束了。接下来开始无穷维向量空间。
通过最常见的多项式为例子进行推广，n次多项式可以视为n维线性空间的一个例子。现在我们将其推广到无穷次多项式，其实，这个名字并不常用，最常见的称呼是幂级数。让我们回想幂级数的表示
这不正是无穷维向量空间吗。根据幂级数理论，对于无穷维的向量空间就发生了变化，不是每一个这样表示都有意义，只有收敛的幂级数才有意义。这个是很重要的一块内容，这里只是提一下。
于是，我们现在有了无穷维的向量空间，是否足够去表示量子力学中的态呢？
答案是还不够，不过，可以对一些简单的系统进行表示了。
众所周知，每一个态都可以用本征态的线性组合来表示，而本征态对应于本征值，在简单情形下，有多少个本征值，就有多少个本征态。所以，借助于上面引入的无穷维向量空间。
当本征值的个数是有限个的时候，比如势阱中的粒子运动问题，仅仅使用有限维向量空间就可以表示了，将有限个本征态，或者说本征矢量，本征函数作为向量空间的基，就可以用坐标，也就是有序数组表示每一个可能的态，他们之间的各种变换，性质，就可以通过向量空间的理论去解决。
当本征值的个数是可数无穷时，比如谐振子的运动，就使用类似于幂级数的无限维向量空间来表示，将这可数多个本征态作为基，进行表示。说到这，可以考虑与幂级数齐名的傅里叶级数，它也是一种无限维向量空间。周期函数的傅里叶级数展开，其实就是周期函数在这一空间下的表示。
但是这样就足够了吗？对于坐标作为本征值的系统，该怎么表示呢？坐标可不是离散的量，它可以在实数范围取值，所以全部坐标构成的集合是不可数的，使用上面的无限维向量空间就显得力不从心了。与之类似的情形，考虑傅里叶积分，只要满足某一条件，即使不是周期函数，也可以表示为傅里叶积分，那么这种积分难道也是一种无穷维的向量空间吗？假如是真的，未免太过诡异，因为从形式上，我们根本看不出它的基是什么。这些内容就放到下一期来说了。
附加：
泛函分析，虽然听上去高不可攀，很厉害，其实早已经得到了广泛的应用，这也反映了应用和理论密不可分的关系，一种想法，倘能实用，则理论必定随着得到极大发展，一种想法，化为理论，无用武之地，就会日渐式微，直到某一天其价值重新被发现，人们才惊呼，前人的智慧。所以，学以致用，不以用为先，而以用为存。认识总要跟随实践走，只有足够的下沉，让更多的人理解，才能最大的体现其价值。
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