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一、概念
首先，我们假设坐标系的一个基变换。在变换的过程中，空间内大部分的向量都离开了它所张成的空间（即这个向量原点到终点构成的直线） ，还有一部分向量留在了它所张成的空间，矩阵对它仅仅是拉伸或者压缩而已，如同一个标量。
101-LeaveStay.gif
如上图，在给出的例子中，x轴所有向量被伸长为原来的3倍，一个明显留在张成空间内的例子。另一个比较隐藏的，是
- 变换中被留在张成空间内的向量，就是特征向量（上例x轴和
）
- 其中每个向量被拉伸或抽缩的比例因子，就是特征值（上例3和2）
- 正负表示变换的过程中是否切翻转了方向
二、三维情况下的用途
三维情况，如果能找到这个不变的向量，即旋转轴（特征值必须为1）。把一个三维旋转看成绕某个轴旋转一定角度，要比考虑相应的3*3矩阵要直观得多。
顺带一提，在这种情况下的特征值必须为1。因为此时的旋转并不缩放任何一个向量。
三、特征向量的计算
用符号表示的话，以下就是特征向量的概念：
Av = λ v
A是代表某个变换的矩阵。v是特征向量，λ是一个数，也就是对应的特征值。
这里说一下我个人的理解：对向量v进行了A的线性变换，等价于对v的直接拉伸。要达到这个条件，λ和v都是多少才可以呢？如果我们计算出了这两个值，就可以称λ为特征值，v为相应的特征向量。
为了提取公因式，需要引入单位矩阵，右侧的λv，其实隐含了一个单位矩阵。这个思路仍然是参考了孟岩的理解矩阵第三篇，此处不再引述原文。
现在可以把公式当成Av = λ l v，其中l就是单位矩阵。然后就能提取公因式了：
(A-λ l)v = 0向量
现在对于左侧的新矩阵A-λ l，我们要找到一个向量v，相乘之后变为0向量。在此不讨论v是0向量的特殊情况，根据之前行列式那一节的知识，仅当新矩阵A-λ l代表的变换将空间压缩到更低维度时，v向量和它相乘后才会变成0向量。所以现在的求解，是在求新矩阵A-λ l的行列式为0.
举个具体的例子，假设有个矩阵，列为(2,1)和(2,3) 根据行列式的计算法则ad-bc，就能得到λ为1时，A-λ l的行列式为0.
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1.回到视频最开始的例子，看看如何计算
这个矩阵的列是(3,0)和(1,2)，那么新矩阵A-λ l就是：
3-λ 1
0 2-λ
根据行列式公式ad-bc=0时，即(3-λ)(2-λ)-1*0=0，可得λ=2或3.
以λ=2为例，代入矩阵中
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根据矩阵乘法进行化简就是x+y=0，这意味着所有的解都落在了由向量(-1,1)张成的直角线上，也就是特征向量是不唯一的，有非常多。与之对应的，就是原始矩阵[(3,0),(1,2)]将这些向量拉伸为原来的2倍。
2.旋转
一个逆时针90度的旋转，每个向量都发生了旋转，离开了其所张成的空间。使用上述规则来计算一下就是：
image.png
这里没有实数解，即没有特征向量。不过是有虚数解的，暂不讨论。
3.剪切
image.png
λ=1是唯一解，也就是特征值为1，感觉上就是剪切时横轴一直没有动。
4.拉伸
如果将所有向量都拉伸为2倍呢，根据上面的计算λ=2是唯一解。
image.png
然后代入回去，就很奇怪：
image.png
可以理解为x,y此时是有无穷解的。这也意味着，平面内每一个向量都是属于这个特征值的特征向量。
5.如果基向量都是特征向量会发生什么
比如，i帽变成原来的-1倍，j帽变成原来的2倍。即：
-1 0
0 2
像这种对角线有值，其他元素全为0的，称为对角矩阵。比如：
image.png
解读它的方法是，所有的基向量都是特征向量，矩阵的对角元是它们所属的特征值。
对角矩阵有一个好处是，矩阵与自己多次相乘的结果更容易计算：
image.png
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相比之下，下面这种相乘100次就是噩梦：
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四、抽象向量空间 克莱姆法则
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这两部分粗略看了一遍，和我关系不大了……
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