第12课图和网络

作者: rascalpotato | 来源:发表于2019-10-29 13:08 被阅读0次

图

网络

该节课着重于线性代数的应用

图：一个图包含节点和边

节点与边

节点个数为4， $n=4$

每条边对应矩阵的一行，矩阵 $m$ 的行数为5， $m=5$

必须把要研究的矩阵写下来

给每条边都指定参考方向，区分正负
构造一矩阵来解析这个图的含义，这个矩阵称为关联矩阵，图中的4个节点分别对应矩阵的四列
从实际问题得到图以及关联矩阵，关联矩阵源于问题，关联矩阵描述了问题的拓扑结构

$\underbrace{A}_{关联矩阵}=\begin{bmatrix}-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\-1&0&1&0\\-1&0&0&1\\0&0&-1&1\end{bmatrix}$ 第一，二，三行组成一个回路意味着相关，与回路对应的行是线性相关的，每行只有2个非零的数，所以该矩阵是很稀疏的，非零元素个数是 $2*m$ 的稀疏矩阵

根据关联矩阵，可以回答一些关于矩阵的主要问题：
矩阵的零空间是什么？当提及矩阵的零空间，希望了解什么？希望知道矩阵中的各列，线性相关还是线性无关，如果各列线性无关，那么零空间包含哪些向量？只包含零向量，零空间告诉我们，如何对列向量进行组合，其结果可以得到零向量，矩阵 $A$ 的零空间有非零向量吗？除了零向量以外的向量，换言之，这四列线性无关还是线性相关?

通过求解 $AX=0$ 来确定矩阵 $A$ 的零空间

$\underbrace{ \begin{bmatrix}-1&1&0&0\\0&-1&1&0\\-1&0&1&0\\-1&0&0&1\\0&0&-1&1\end{bmatrix} }_{A} \underbrace{\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{bmatrix}}_{X}= \underbrace{ \begin{bmatrix}x_2-x_1\\x_3-x_2\\x_3-x_1\\x_4-x_1\\x_4-x_3\end{bmatrix} }_{AX_{电势差}}= \underbrace{\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}_{0}$

如果 $X$ 全为零，各行差为零，这表明零向量理所当然地在零空间里，但零空间还有别的特别的向量。矩阵 $A$ 的各列是线性相关的，因为方程组不只一个解。 $X=\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}$ ,它是零空间的一组基，实际上该零空间是一维的，过这个点的直线，而乘上 $C$ 就是整个零空间， $X=C\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}$ ，向量 $\begin{bmatrix}1\\1\\1\\1\end{bmatrix}$ 的若干倍，四维空间中的一条直线，所以 $A$ 的零空间的维数等于1， $dimN(A)=1$

$rank=3$

列空间是各列的线性组合

这个零空间有什么物理意义吗？
零空间的向量，表明节点电势都是由一个常数决定，电势差是产生电流的原因，这是一种因果关系。由于网络中存在电势差，于是节点2和节点1之间存在电流，如果节点电势都相等，则不会有电流产生，假如各节点的电势都是 $C$ ，将不会产生电流，我们发现这个任意常数 $C$ ，决定了所有节点电势上升或下降，正如球队的排名，其他领域也有类似常数，例如对于温度，我们知道热是从高温向低温传导的，如果温度处处相等，就不会发生热传导，因此我们可以测量温度。在微积分里也存在任意常数 $C$ ，以不定积分为例，通常在原函数后面加上常数 $C$ ，若要确定 $C$ ，必先确定初始值。在该例子我们先确定其中一点的电势，例如最后一个节点，典型方法是将它接地，令其电势为零，只要确定了一点电热，其它节点电势也可以求出，这意味着最后一列不起任何作用，而前三列是线性无关的,虽然把最后一列保留下来，但我们知道，接地点零电势将把它消去。

$A$ 转置的零空间,记作 $N(A^T)$ :

$A^Ty=0$

$A^T$ 的自由列， $N(A^T)$ 的维数 $dimN(A^T)=m-r=5-3=2$

$\underbrace{ \begin{bmatrix}-1&0&-1&-1&0\\1&-1&0&0&0\\0&1&1&0&-1\\0&0&0&1&1\end{bmatrix} }_{A^T} \underbrace{\begin{bmatrix}y_1\\y_2\\y_3\\y_4\\y_5\end{bmatrix}}_{Y}= \underbrace{\begin{bmatrix}-y_1-y_3-y_4\\y_1-y_2\\y_2+y_3-y_5\\y_4+y_5\end{bmatrix}}_{A^TY}= \underbrace{\begin{bmatrix}0\\0\\0\\0\end{bmatrix}}_{0}$

求 $N(A^T)$ 的一组基,希望理解该 $A^TY$ 的实际代表什么，为什么我们对这个方程感兴趣。

将电势差乘以矩阵 $C$ 得到各边电流（y_1,y_2,y_3,y_4,y_5），电流和电势差的关系服从欧姆定律，电流值是电势差的倍数,该数值是边的电导,电阻的倒数,这些将是电流，电阻和电势差的关系，电势的改变产生了电流，欧姆定律告诉我们产生了多少电流， $A^Ty=0$ ，叫做霍夫电流定律

$N(A^T)$ 的一组基:

$Y=\begin{bmatrix}1\\1\\-1\\0\\0\end{bmatrix}; Y=\begin{bmatrix}0\\0\\1\\-1\\1\end{bmatrix}$

$A^T$ 的列1，列2，列4为主列，线性无关等价于没有回路，相关性均源自于回路，没有回路的图，表明 $A$ 的各行线性无关，没有回路的图叫做"树",“树”就是没有回路的图。

看看维度公式的意义： $dimN(A^T)=m-r_{回路数}$

欧拉公式： $loops_{回路数量}=m_{边数量}-(n_{节点数量}-1)\rightarrow 1=loops_{回路数量}-m_{边数量}+n_{节点数量}$

节点可以想象成零维，图上的点
边可以想象成一维，它们连接着节点
回路可以想象成二维，得到一个区域
此公式对任意的图都成立

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