原创四：“再探”勾股定理

本课为北师版数学教材八上第一章第一节《探索勾股定理定理》第二课时，是在前一节利用测量、方格纸两种方法验证的基础上，对勾股定理的进一步验证。

一、教学目标

1.会用等积法验证勾股定理，会用勾股定理解决简单的实际问题。

2.经历验证勾股定理的过程，进一步发展几何逻辑推理能力和空间观念。

二、教学重难点

重点：用等积法验证勾股定理

难点：验证中的推理过程、勾股定理实际应用。

三、教学流程

1.复习，讲评作业问题

原创四：“再探”勾股定理

意图：勾股定理的符号表述中，限定∠B=90°,意在不让学生形成勾股定理就是a²+b²=c²的思维定势，同时明确由哪个角为90°可推其对边为斜边。对应习题中，由于题中没有说明哪个角是直角，因此学生自然想到分类讨论。

2.新课讲授

按教材引入

原创四：“再探”勾股定理

“羊角图”学生在之前一天的探究过程中已经见过，不算陌生。但去掉方格纸、不用刻度尺，再无法得到具体的数据，因而不能通过“两个小正方形的面积相加，等于大正方形的面积”这样的思路来验证勾股定理。

观察待证结论a²+b²=c²，c²为斜边正方形的面积。要得到上述结论，换言之，要建立一种等量关系，“=”的确立可以构造“面积相等”得到，也就是说，对于斜边正方形的面积，除了可以用c²表示，如果还能用含有a和b的式子表示，通过化简，可期结论得证。

教材上给了下图的例子。

原创四：“再探”勾股定理

个人以为：学生有了上一节课方格纸的基础，图1-6较之图1-5更容易想到，不仅如此，这两个图还可以合二为一，因此我在课堂上做了如下改进。

原创四：“再探”勾股定理

讲授中有以下几个要点：

（1）分割正方形ABMN，证线段AB两侧的两直角三角形全等，再证正方形ABMN内四个直角三角形全等（K型图，角角边），得正方形ABMN面积等于四个三角形面积＋小正方形面积，这是间接法求面积。当然正方形ABMN的面积还可以直接用公式计算得c²。用两种形式表示同一图形的面积，当然可以用“=”连接，这种思路叫做等积法。

（2）能“分割”就能“补全”，补全之后同样要证明外围的四个小直角三角形全等。这样正方形ABMN的面积还可以表示为大正方形的面积减去四个小直角三角形面积和。

（3）将教材中的两个图形合二为一并不偶然。学生在七年级下册《整式的乘除》时曾接触过以下图形。

原创四：“再探”勾股定理

七年级时用上图说明（a+b）²=（b-a）²+4ab用的便是等积法。现在连接长方形的对角线，实则引入c，c²所表示面积的正方形便是我们的研究对象。

（4）勾股定理是直角三角形三边间的一种二次等量关系。“等积法”中的“等”对应“等量关系”，“积”对应“二次”（面积大小用二维刻画），因此用“等积法”验证勾股定理是自然的。

（5）勾股定理的主要作用是求直角三角形的边。

3.习题训练

原创四：“再探”勾股定理 原创四：“再探”勾股定理

意图：

例1.求面积即是求边长、求高，求线段长想到用勾股定理，无直角三角形时“构造”直角三角形。

例2.通常的，直角三角形中已知两边，直接用勾股定理求出第三边。若只知一边，还知另两边关系，可用方程思想。

例3.两次勾股定理，明确对于梯子下滑问题，下滑多少并不一定等于伸长多少。

例4.把“能不能撞上”转化为比较线段长短问题，单行道双行道灵活变式。

原创四：“再探”勾股定理