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初高中衔接讲座：勾股定理

初高中衔接讲座：勾股定理

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-04-20 23:35 被阅读0次

\boxed{\mathbb{Q17.}} 勾股定理

（1）叙述并证明勾股定理。

（2）叙述并证明勾股定理的逆定理。

【解答】

勾股定理的文字表述如下：直角三角形中，斜边的平方等于两条直角边的平方之和.

为了方便证明，我们按照平面几何的习惯书写如下.

已知：\triangle ABC 中，\angle ACB=90°.

求证：AB^2=AC^2+BC^2.

【证明一】

如图所示，作 CD \perp AB, 点 D 为垂足.

∵ CD \perp AB, ∴ \angle ADC=90°

∵ \angle ADC = \angle ACB=90°, \angle A = \angle A,

∴ \triangle ADC \sim \triangle ACB,

∴ \dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AC}{AB}

∴ AC^2=AB\cdot AD,

同理可证：\triangle BCA \sim \triangle BAC,

∴ BC^2=AB \cdot BD,

∴ AC^2+BC^2=AB\cdot(AD+BD)=AB^2.

证明完毕.

【证明二】

如图所示，延长 CB 至 D, 使得 BD=AC. 并作 \triangle BDE, 使得 DE=BC, BE=AB

∵ BD=AC, DE=BC, BE=AB

∴ \triangle ABC \cong \triangle BED

∴ \angle BDE = \angle ACB=90°

∴ \angle EBD = \angle BAC

∴ \angle EBD + \angle ABC=90°

∴ \angle CBE=90°

∵ \angle BDE = \angle ACB=90°,

∴ ACDE 是直角梯形, 根据梯形面积公式可得：

S_{_{ACDE}} = \dfrac{1}{2}(AC+DE)(BC+BD)

∵ \angle CBE=90°, AB=BE,

∴ \triangle ABE 是等腰直角三角形.

梯形 ACDE 的面积等于三个三角形的面积之和，即：

S_{_{ACDE}} = S_{\triangle ABC} + S_{\triangle BDE} + S_{\triangle ABE}

若记 AB=c, AC=b, BC=a, 结合线段的相等关系，可得：

\dfrac{1}{2}(a+b)(a+b)= \dfrac{1}{2} ab + \dfrac{1}{2}ab + \dfrac{1}{2}c^2

a^2+b^2=c^2.

证明完毕.

【提炼与提高】

勾股定理被称为「千古第一定理」，其证明方法多达数百种。作为高中生，至少应该掌握三种典型的证明。

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