CP分解

将高维的张量分解成为Rank-One Tensors的和。

这里的是指的外积。

上面的式子也可以展开成：

定义因子矩阵(factor matrices)表示向量的组合。例如。然后对三维的情况，我们可以将上面的表达式写成下面的形式：

其中的表示KR积。然后表示张量的的mode-n unfolding。

例如：，

那么

我们可以把它展开后验证一下式子的正确性，当然肯定是对的。也可以从维度的角度去进行验证。

CP分解可以简明的表述为：

如果将标准化，然后提取出权重，可以得到如下的表述：

对于N维的情况，

Tensor Rank

当取等号的时候，R的最小取值，就是该张量的秩。

对张量的秩的定义和对矩阵的张量的定义类似。但是存在一些不同。

1. 张量的秩在实数域和复数域可以不同。
2. 没有直接的算法去计算给定张量的秩。这是一个NP-hard问题。

张量集合的最大秩和典型秩。对一个张量的集合，所能取到的最大的秩成为最大秩(maximum rank)，发生概率大于0的秩成为典型秩typical rank。

对于不同形状的张量有不同的最大秩和典型秩，可以通过查表获得。

Uniqueness 唯一性

高阶张量的一个特性是他们的分解通常是唯一的，但是矩阵分解通常不是唯一的。

矩阵的分解是不唯一的。令是一个秩为R的矩阵，它的分解为：

如果的SVD分解是那么我们可以选择，同时可以选择

张量分解的唯一性是指排除简单的重新组合和缩放的情况后，只存在一种可能的分解。

三维情况下，CP分解唯一性的充分条件是：

其中的是矩阵的秩。

将其扩展到N维情况为：

充分条件为：

CP分解唯一性的必要条件为：

对N维的情况，

然后，因为：

所以，更一般的必要条件为：

三维张量在以下的条件下，CP分解通常是唯一的。

低秩近似和边界秩Low-Rank Approximations and the Border Rank

令R是矩阵的秩，假设的SVD为：

然后他的rank-k近似可以写作：

但是这种结果不适用于高阶张量。

存在低阶近似不是高阶近似的因子的情况。导致最佳秩近似的分量不能够按照顺序一个个的求解，必须同时找到所有的因子。

令是一个rank-three张量，被定义为：

然后这个张量可以被下面的rank-two张量任意的近似：

然后：

但是在某些情况下，低秩近似是不存在的，并且这不是一个少见的情况。在不存在低秩近似的时候，引入边界秩的概念。他被定义为等于一个张量的最小数量，其足以近似给定张量且具有任意小的非零值。

计算CP分解

没有明确的算法去计算张量的秩，因此计算CP分解的第一个问题是如何去选取rank-one张量的数量。大多数的程序选择好多个不同的值，直到其中一个表现比较好的时候。对于无噪声的理想数据，我们可以从依次选取，直到达到合适的时候。但是在给定R的情况下，我们也没有完美的程序去计算CP分解。另外根据低秩近似，我们也知道可以通过低秩的张量近似表示高秩张量，这在实践中会引发一些问题。

假设组件的数量已经确定，有很多方法去计算CP分解，我们关注ALS(交替最小二乘法)算法去计算CP分解。

在三维情况下：令，最终的计算目标是计算一个R个组件的CP分解能够最好的近似。

ALS的步骤是固定和去优化，然后固定和去优化，最后固定优化，持续迭代更新，直到收敛。

在和固定的情况下，我们可以得到：

其中。

优化的结果是：

这里的表示矩阵的伪逆。。又因为：，所以得到：

这个地方有一步没想清楚。

通过上面的变化，我们就不用计算一个JK×R的矩阵的伪逆了，只需要计算一个R×R的矩阵的逆即可。然后对标准化后可以得到。

N维张量CP分解的完整的步骤如上图所示。

ALS方法易于理解和扩展，但是需要花费比较多的迭代次数使它收敛。同时，它不能够保证一定能够收敛到全局最小值，仅保证目标函数不再减小。