2017-11-23

7．连分数，丢番都方程(不定方程)

1）．形如a＝a。＋1／

                                          a1＋1／

                                                        a2＋

                                                                  ⋯

                                                                        ＋1／an

的表达式(ai为正整数)称为连分数。

      辗转相除法可以把任何一有理数表示为这种形式。如840和611辗转相除后产生一系列等式：840＝1·640＋229；640＝2·229＋153；229＝1·153＋76；153＝2·76＋1

所以840/611＝1＋229/611＝1＋1／611/229＝1＋1／2＋1／229/153＝1十1／2十1／1＋1／153/76＝1＋1／2＋1／1＋1／2＋1/76

2）．形如ax＋by＝c(a、b、c是整数)代数方程称为二维线性丢番都方程（即不定式方程）其有整数解的充要条件是（a、b）能整除c．其特解x’、y’可用辗转相除法得到，一般解为：X＝x’＋rb/(a、b)；Y＝y’－ra/(a、b)

例：方程3x＋6y＝22没有整数解，这是因为(3、6)＝3不能整除22

对于方程7x＋11y＝13，因为(7、11)＝1，所以7·(－3)＋11·2＝1，那么7·(－39)＋11·26＝13；所以x＝－39，y＝26是方程的特解，其一般解为：x＝－39＋11r；y＝26－7r（r为全体整数)