3.4 损失函数

损失函数又称为代价函数，是一个非负的实值函数，通常用 $L$ 表示。损失函数用来量化在训练过程中网络输出和真实目标间的差距。确定神经网络最佳状态相当于寻找使损失最小的神经网络参数，这样一来，损失函数的出现使网络的训练变成一个优化问题。
对数据集中所有的预测误差求平均，称为经验风险函数。经验风险并不是越小越好，比如模型复杂度过高会产生过拟合现象，这个时候经验风险是很小的，但过拟合的模型并不是我们想要的结果。
这里引入正则化的概念。正则化也叫结构风险，用来表示模型的复杂度。
我们把经验风险和结构风险的和称为目标函数。神经网络训练的最终目标就是寻找最佳的参数，使目标函数最小。

损失函数通常可分为两类，分别用于回归和分类任务。

3.4.1 回归问题

在回归中常用的损失函数是均方差损失(Mean Squared Error, MSE)
$L(W,b)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N(\hat{y}_{i}-y_{i})^2$
对于多输出的回归，MSE的公式为：
$L(W,b)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M(\hat{y}_{ij}-y_{ij})^2$
MSE在回归中使用很广泛，但是它对异常值很敏感，在特定的任务中有时不需要考虑异常值（比方说股票的选择中需要考虑异常值，但是在买房的时候就不需要过多考虑），这时就需要一个损失函数，更关注中位数而不是平均数。这时可以选择平均绝对误差(Mean Absolute Error, MAE)，其公式如下：
$L(W,b)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^M|\hat{y}_{ij}-y_{ij}|$

3.4.2 分类问题

0-1问题(一般用-1代替0)，可以使用铰链损失(hinge loss)
$L(W,b)=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^Nmax(0,1-\hat{y}_{ij}\times y_{ij})$
多分类可以转二分类表示：每次只考虑是否属于某一个特定的类别
对于预测属于某一类别概率的问题，可以使用负对数似然函数
$L(W,b)=-\sum_{i=1}^N y_i \times log\hat{y}_{i}+(1-y_i)\times log(1-\hat{y}_{i})$
我们把问题从二分类扩展到多分类上，用one-hot编码表示类别的预测结果：属于该类别的为1，其他的全为0，公式如下：
$L(W,b)=-\sum_{i=1}^N \sum_{j=1}^M y_{ij} \times log\hat{y}_{ij}$
从形式上看这个函数恰好是交叉熵的形式，因此负对数似然损失函数又叫交叉熵函数。交叉熵是不确定性信息的一种度量，在这里交叉熵用来衡量我们学习到 $\hat{y}$ 和真实的目标值y的不确定性。对于所有的输入 $x$ ，如果每个结果都接近目标值，也就是 $y$ 和 $\hat{y}$ 近似相等，则这个交叉熵为0，反之，输出结果离目标值越远交叉熵就越大。
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