线性回归（linear regression）是由统计学演变出的常用机器学习模型。其主要思想是通过模型去描述自变量和因变量之间的关系。往模型中输入，便得到与之对应的。接下来我们一步步的解释线性回归模型。

一，线性回归模型

    我们的有m个样本，每个样本有n个特征和一个对应的结果，如下：

对于以上数据，我们建立一个线性回归模型：

则对于样本有：

                                    

进一步用矩阵形式表达为：

一般线性回归我们用均方误差作为损失函数。损失函数的代数法表示如下：

进一步用矩阵可以表示为：

二，损失函数最小化

1.最小二乘法

    损失函数定义为：

根据最小二乘法的原理，我们要对这个损失函数对向量求导取0。结果如下式：

最后可以得到：，有了具体的数据我们就可以计算出

2.梯度下降法

1）确定当前位置的损失函数的梯度，对于梯度下降表达式为：

2）用步长乘以损失函数的梯度，得到当前位置下降的距离，即

3）确定向量里面的每个值,梯度下降的距离都小于设定值，如果小于则算法终止，当前向量即为最终结果。否则进入步骤4.

4）更新，其更新表达式如下。更新完毕后继续转入步骤1.

我们用向量来进行表示，损失函数对于的偏导数计算如下：

那么步骤4中，更新则为：。

三，正则化

    为了防止模型的过拟合，我们在建立线性模型的时候经常需要加入正则化项。一般有L1正则化和L2正则化。

1.L1正则化

线性回归的L1正则化通常称为Lasso回归，它和一般线性回归的区别是在损失函数上增加了一个L1正则化的项，L1正则化的项有一个惩罚系数来调节损失函数的均方差项和正则化项的权重，具体Lasso回归的损失函数表达式如下：

其中，为惩罚系数，越大，对的限制越大。Lasso回归可以使得一些特征的系数变小，甚至还是一些绝对值较小的系数直接变为0。增强模型的泛化能力。

2.L2正则化

线性回归的L2正则化通常称为Ridge回归，它和一般线性回归的区别是在损失函数上增加了一个L2正则化的项。具体Ridge回归的损失函数表达式如下：

其中， 为惩罚系数，越大，对 的限制越大。Ridge回归在不抛弃任何一个特征的情况下，缩小了回归系数，使得模型相对而言比较的稳定，但和Lasso回归比，这会使得模型的特征留的特别多，模型解释性差。

下图为（X轴）与（Y轴）之间的关系：

看到这里你可能有个疑问，L1，L2之间有什么区别么？

下面给出直观的解释：

L1正则 L2正则

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