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用错位相减法解数列求和问题

用错位相减法解数列求和问题

作者: 天马无空 | 来源:发表于2020-12-26 11:29 被阅读0次
用错位相减法解数列求和问题

方法四 错位相减法

解题步骤：

第一步 巧拆分：即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式；

第二步 确定等差、等比数列的通项公式；

第三步 构差式：即写出S_n的表达式，然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子，两式作差；

第四步 求和：根据差式的特征准确求和.

【例】 已知数列\{a_n\}，\{b_n\}满足a_1=2，2a_n=1+a_n a_{n+1},b_n=a_n-1， .

（Ⅰ）求证数列\left\{\dfrac{1}{b_n}\right\}是等差数列，并求数列\{a_n\}的通项公式；

（Ⅱ）令c_n=\dfrac{1}{b_n 2^n}，求数列\{c_n\}的前项和T_n.

【解】

\because b_n=a_n-1，\therefore a_n=b_n+1，

由2a_n=1+a_n a_{n+1}，

\therefore 2(b_n+1)=1+(b_n+1)(b_{n+1}+1)，

化简得：b_n-b_{n+1}=b_nb_{n+1}，

\because b_n \neq 0，

\therefore \dfrac{b_n}{b_n b_{n+1}}-\dfrac{b_{n+1}}{b_n b_{n+1}}=1，即\dfrac{1}{b_{n+1}}-\dfrac{1}{b_n}=1(n \in N^*)，

而\dfrac{1}{b_1}=\dfrac{1}{a_1 -1}=\dfrac{1}{2-1}=1，

\therefore数列\left\{\dfrac{1}{b_n}\right\}是以1为首项，1为公差的等差数列.

\therefore \dfrac{1}{b_n}=1+(n-1) \times 1=n，即b_n =\dfrac{1}{n}(n \in N^*)，

\therefore a_n =\dfrac{1}{n}+1=\dfrac{n+1}{n}(n \in N^*)，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知c_n=\dfrac{n}{2^n},

\therefore T_n=\dfrac{1}{2^1}+\dfrac{2}{2^2}+…+\dfrac{n}{2^n}，

\dfrac{1}{2}T_n=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{2}{2^3}+…+\dfrac{n}{2^{n+1}}

两式相减得：

\dfrac{1}{2}T_n=\dfrac{1}{2^2}+\dfrac{1}{2^3}+…+\dfrac{1}{2^n}+\dfrac{n}{2^{n+1}}

=\dfrac{\dfrac{1}{2}\left(1-\dfrac{1}{2^n}\right)}{1-\dfrac{1}{2}}-\dfrac{n}{2^{n+1}}
=1-\dfrac{n+2}{2^{n+1}}，

故T_n=2-\dfrac{n+2}{2^n}.

【总结】利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号．

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