协方差的定义

在统计学上，协方差用来刻画两个随机变量之间的相关性，反映的是变量之间的二阶统计特性，两个随机变量Xi和Yj的协方差定义为

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所以

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协方差矩阵

是一个矩阵，其 i, j 位置的元素是第 i 个与第 j 个随机向量（即随机变量构成的向量）之间的协方差。
设X1，X2，...,Xn为一组随机变量，记X=(X1，X2，...,Xn)T为由这n个随机变量构成的随机向量，假设每个随机变量有m个样本，将所有的样本拼接在一起可以得到如下的样本矩阵

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协方差矩阵是计算不同维度间的协方差，要时刻牢记这一点。因此样本矩阵的每行是一个样本，每列为一个维度，所以我们要按列计算均值。但是peghoty博客中用的是矩阵第i行元素表示第i个随机变量Xi的m个样本，所以以下分析暂时用的peghoty的方案。

引入向量αi和βi

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αi是样本矩阵的行向量，βi是样本矩阵的列向量，所以样本矩阵表示为

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对于n维的随机变量X=(X1,X2,…,Xn)T的协方差矩阵定义为

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所以协方差矩阵必定是一个对称矩阵

协方差矩阵中的对角线元素表示方差，非对角线元素表示随机向量X的不同随机量之间的协方差，因此协方差矩阵可以作为刻画不同分量之间相关性的一个评判量，不同分量之间的相关性越小，则C的非对角线元素的值就越小，特别地，如果不同分量彼此不相关，那么C就变成一个对角阵。
注意：我们并不能得到协方差矩阵C的真实性，只能根据所提供的X的样本数据，对其进行近似估计，因此，这样计算得到的协方差矩阵是依赖于样本数据的，通常提供的样本数目越多（m越大），样本在总体中的覆盖面就越广，所得协方差矩阵就越可靠。

**协方差公式推导